Задача о корне многочлена

[Tema]

Многочлен задается следующим образом:
$f_1 (x) = 1-x$
$f_2 (x) = x^2 - 6x +1$
$f_{n+1} (x) = (5-x)f_n (x)-4f_{n-1}(x)$
Доказать, что наименьший корень $f_i (x)$ меньше, чем $2^{1-i}$

Подскажите, пожалуйста, как можно сделать. К сожалению, идей нет

[RIP]

При $x<1$ многочлен можно записать в виде

$$f_n(x)=\frac12\left(1-\frac{3+x}{\sqrt{9-10x+x^2}}\right)\left(\frac{5-x+\sqrt{9-10x+x^2}}2\right)^n+$$ $$+\frac12\left(1+\frac{3+x}{\sqrt{9-10x+x^2}}\right)\left(\frac{5-x-\sqrt{9-10x+x^2}}2\right)^n.$$

В частности, $f_n(0)=1$. Достаточно проверить, что $f_n(2^{1-n})<0$ ($n\geqslant2$). Надо просто аккуратно оценить. Я прикину на глазок.

$$x=2^{1-n}=o(1),\quad\sqrt{9-10x+x^2}=3-\frac53x+O(x^2)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow\frac12\left(1-\frac{3+x}{\sqrt{9-10x+x^2}}\right)\sim-\frac49x\sim-\frac89\cdot2^{-n},$$

поэтому первое слагаемое по порядку будет $\sim-\frac89\cdot2^n$, а второе вообще будет $\approx1$.
Для аккуратной оценки можно воспользоваться неравенствами $3-2x<\sqrt{9-10x+x^2}<3-\frac53x$ ($0<x<\frac23$). Думаю, что этих неравенств достаточно.

[Tema]

Спасибо большое за ответ!!Щас обдумаю!

[Dandan]

[quote="RIP"][/quote]

Ну то, что $f_n(0)=1$ и так очевидно (по индукции сразу получается). Да и вообще, если задачу непонятно как решать, значит она решается по индукции Выводить формулу общего члена это уже "тяжелая артиллерия". Хотя без этого доказать, что $f_n(2^{1-n})<0$ у меня пока не получилось

[neo66]

А откуда взялась эта задача, если не секрет?

[Ulya]

Думаю,что из экстремальных оценок для многочленов +)

[Tema]

К ней свелась другая задача про матрицы)

[bot]

Хм, при сведении частенько получаются задачи потруднее исходной. Так простая
геометрическая задача переформулированная на языке алгебраических уравнений
становится порой неприступной, если не восстановить исходную геометрическую сущность.

[neo66]

Tema писал(а):

К ней свелась другая задача про матрицы)

А что за задача? Или долго формулировать?

[ИСН]

Я думаю, формулировать особо нечего - её можно угадать. Скажем, какой вид могла бы иметь матрица, у которой такой хар. многочлен?

[Tema]

Пусть $\sigma_1\geqslant \sigma_2\geqslant...\geqslant \sigma_n$- сингулярные числа n\times n матрицы

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1&2&0&\ldots&\ldots\\ 0&1&2&0&\ldots\\ \ldots&\ldots&\ddots&\ddots&\ldots\\ \ldots&\ldots&0&1&2\\ \ldots&\ldots&\ldots&0&1 \end{array}\right)$

Докажите, что $1\leqslant\sigma_{n-1}\leqslant...\leqslant\sigma_1\leqslant 3$ и,кроме того, $0<\sigma_n<2^{1-n}$

Добавлено спустя 1 минуту 9 секунд:

Возможно, я действительно усложнил задачу. Решал как умел

Добавлено спустя 31 секунду:

Спасибо всем, кто помог