Теория управления. Аналитический расчет переходной функции

[senset]

Здраствуйте. В общем, есть линейный элемент. y-выходной сигнал, x-входной.
Есть диф. ур: $y''(t)=3-x(t)$
Требуется найти переходную функцию (характеристику) h(t)?
Чтобы её найти требуется решить данное диф. ур
Получаем: $y(t)=\frac {(3x(t)^2)} {2}-\frac {x(t)^3} {6}+C_1*x+C_2$
Теперь подставляем (исходя из определения переходной функции) единичный ступенчатый сигнал

$$ x(t)=\begin{cases} 0,&\text{если $t<0$;}\\ 1,&\text{если $t>0$;}\\ \end{cases} $$

Получаем: $y(t>0)-y(t<0)=\frac {3} {2}-\frac {1} {6}+C_1+C_2-C_2=\frac {3} {2}-\frac{1} {6}+C_1=\frac {8} {6}+C_1$

Вот как-то так((( Я сильно сомневаюсь, что это правильное решение. Подскажите, пожалуйста.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены ТеХом

Наберите формулы ТеХом, как написано здесь, после чего сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

[senset]

Deggial в сообщении #656094 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
вернул

Спасибо)

[Алексей К.]

senset в сообщении #655993 писал(а):

Есть диф. ур: $y''(t)=3-x(t)$
Требуется найти переходную функцию (характеристику) h(t)?
Чтобы её найти требуется решить данное диф. ур
Получаем: $y(t)=\frac {(3x(t)^2)} {2}-\frac {x(t)^3} {6}+C_1*x+C_2$

Я не знаю, что такое переходные функции, но вижу, что с уравнением Вы разобрались неверно. У Вас производная по тэ, а Вы (несколько необдуманно) применяете привычные формулы типа для $y'_x=x$. Например, интегрируя его один раз, получим

$$ y'_t=3t-\int x(t)\,dt,$$

и никаких $\frac {x(t)^3} {6}$ там не предвидится. Дальше, видимо, надо действовать исходя из вида функции $x(t)$. Или подождать советов от специалистов по теме.

ЗЫ. Не стоит пользовать звёздочку как знак умножения. Чай, не программу пишете, а формулу.

[profrotter]

senset в сообщении #655993 писал(а):

исходя из определения переходной функции

Я слышал, что переходная функция определяется всегда при каких-то одних и тех же начальных условиях. Да запамятовал. Вот бы вспомнить при каких.

[senset]

Цитата:

Дальше, видимо, надо действовать исходя из вида функции $x(t)$.

К сожалению, я написал всё, что дано... т.е. $x(t)$ неизвестно как зависит, но я полагаю что это единичный сигнал, т.е.

$$ x(t)=\begin{cases} 0,&\text{если $t<0$;}\\ 1,&\text{если $t>0$;}\\ \end{cases} $$

-- 09.12.2012, 12:12 --

Цитата:

Или подождать советов от специалистов по теме.

Походу, именно так)

[Алексей К.]

Подсказка от специалиста уже поступила, если Вы не поняли.
Это он шутит, что запамятовал.
Это он предлагает Вам подумать, теорию почитать.
Это на форуме у нас так принято. А я сделал своё дело и удаляюсь.

[senset]

profrotter в сообщении #656103 писал(а):

senset в сообщении #655993 писал(а):

исходя из определения переходной функции

Я слышал, что переходная функция определяется всегда при каких-то одних и тех же начальных условиях. Да запамятовал. Вот бы вспомнить при каких.

Исходя из этого определения я толкался дальше.
Переходная функция $h(t)$ - это реакция одноканального линейного элемента, предварительно приведенного в состояние равновесия, на единичный ступенчатый сигнал 1(t).

$x$-вход, $y$-выход;
$y''=3-x(t)$;
Единичный ступенчатый сигнал, есть:
$ x(t)=\begin{cases} 0,&\text{если $t<0$;}\\ 1,&\text{если $t>0$;}\\ \end{cases} $
Тогда, проинтегрировав 1-ый раз функцию получим:
$y'=3t-\int\limits_{0}^{\infty} x(t)\,dt,=3t-\left. x(t) \right|^\infty_0=3t-1$
Теперь проитегрируем второй раз, получим:
$y=\int\limits_{0}^{\infty} (3t-1)\,dt,=\left. \frac {3t^2} {2} - t \right|^\infty_0=$\infty
Очевидно, это бред, хотя по сути это решение можно назвать решением с начальными условиями $1(t)$

Ок, нулевые начальные условия... посмотрим здесь
$u(t)=1(t)$
$y(t)=h(t)u(t) \to h(t)=\frac {y(t)}{u(t)}$
И всё, вот он ступор(

Другой вариант:
Исходя из той же ссылки:
Эта динамическая характеристика применяется для описания одноканальных систем с нулевыми начальными условиями
и там: $y''(0)=0$; дополняем тем, что $u(t)=1(t)$
Получаем:
$y''(0)=3-x(t)=0$
$y''(t)=3-u(t)=0$
Подставляем $t=0$, получаем: $y''(0)=3-1\neq0$
Опять что-то не так, походу просто так заменить $x(t)$ на $u(t)$ нельзя...

[profrotter]

При нулевых начальных условиях, например, уравнение $y'=x(t)$ интегрируется так $y(t)=\int\limits_{0}^{t}x(t')dt'$. Верхний предел ну никак нельзя сделать бесконечным, иначе получится просто константа.

Кстати, диф. ур. Вы сами получили или оно задано?

[ewert]

senset в сообщении #655993 писал(а):

Есть диф. ур: $y''(t)=3-x(t)$
Требуется найти переходную функцию (характеристику) h(t)?

Операционное исчисление знакомо?

[senset]

profrotter в сообщении #656158 писал(а):

При нулевых начальных условиях, например, уравнение $y'=x(t)$ интегрируется так $y(t)=\int\limits_{0}^{t}x(t')dt'$. Верхний предел ну никак нельзя сделать бесконечным, иначе получится просто константа.

Кстати, диф. ур. Вы сами получили или оно задано?

Диф. ур. задано.
$y(t)=\int\limits_{0}^{t}x(t')dt'=....$
И как такое дальше считается?

[profrotter]

Подставляется выражение для $x(t)$ и считается.

[senset]

profrotter в сообщении #656214 писал(а):

Подставляется выражение для $x(t)$ и считается.

Эм... в смысле? Я что-то Вас не пойму. У меня так сказать нет $x(t)=....$
я могу только его предположить. На основании того, что $x$-вход, и поступает единичный сигнал
Мне этот единичный сигнал подставить чтоли?
$y(t)=\int\limits_{0}^{t}1(t)dt'=\left. t \right|^t_0$

[profrotter]

Да - если ищите переходную характеристику, то единичный скачок и подставлять. Только получится не $t$, а $t1(t)$, поскольку при отрицательных $t$ интеграл равен нулю ввиду равенства нулю подынтегрального выражения. Да и у вас другое диф. ур., если что. Это я для примера.