Моменты в теории вероятностей

[f(x(t))]

Почему по моменту второго порядка порядка определяют дисперсию, а по моменту четвёртого - эксцесс? Можно ли по моменту второго порядка определять эксцесс, а по моменту четвёртого дисперсию?

Deggial: поправил заголовок

[f(x(t))]

Я так понимаю, что все моменты зависят от формы распределения и разные свойства формы (эксцесс, дисперсию), то есть являются разными выражениями одного и того же. Значит можно исследовать все свойства закона распределения даже по одному моменту. Но проще (или нагляднее) по разным, так как написанно в учебнике.
Я прав?

[ИСН]

Цитата:

Очень возможно, что Айседора Дункан так и делает. Может быть, она в кабинете обедает, а кроликов режет в ванной.

-- Пт, 2012-12-07, 11:13 --

Вес, рост, размер лапы, длина хвоста - все зависят от формы животного, то есть являются разными выражениями одного и того же. Значит, можно исследовать все свойства животного даже по одному параметру.

[Евгений Машеров]

Отвечу сперва на второй вопрос. Разные распределения могут иметь равные моменты. И для описания распределения нужно знать все его моменты. "Все свойства по одному моменту" не выйдет. Скажем, знаем мы среднее (первый начальный момент). Равно оно, скажем, единице. И что оно нам оно даёт для ответа на вопрос "Могут ли у нас быть отрицательные значения? А бОльшие двух? А бесконечные? И какое значение случайной величины более вероятно - 0.5 или 1.5? И является ли единица самым вероятным значением?".
И даже если мы запишем аналитическое выражение для распределения, то всё равно нам понадобится знать не меньше моментов, чем параметров распределения в выражении.
А касательно первого вопроса - можно. Назвать дисперсию эксцессом, а эксцесс дисперсией. Только вот пользы от такого переименования куда меньше, чем от окрещивания монахом Горанфло курицы карпом. Он хотя бы мяса постом поел, а тут никакой выгоды, кроме как переписывания учебников. В которых принято называть второй центральный момент дисперсией, а четвёртый нормированый - эксцессом.

[zhoraster]

Евгений Машеров в сообщении #655414 писал(а):

И для описания распределения нужно знать все его моменты.

В очень запущенных случаях и этого не достаточно.

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #655414 писал(а):

И для описания распределения нужно знать все его моменты.

Все 4?

[zhoraster]

Александрович, устное замечание за бессодержательное сообщение.

[Александрович]

Евгений Машеров в сообщении #655414 писал(а):

для описания распределения нужно знать все его моменты.

А сколько их всего может быть?

[ИСН]

Кого? Моментов? А что это такое?

[Евгений Машеров]

zhoraster в сообщении #655427 писал(а):

Евгений Машеров в сообщении #655414 писал(а):

И для описания распределения нужно знать все его моменты.

В очень запущенных случаях и этого не достаточно.

Да. Но я уж решил не пугать. Да и не столь такие ситуации на практике встречаются.

[f(x(t))]

По второму моменту судим о степени дисперсии, то есть о "ширене" графика плотности распределения. По четвёртому моменту о плоскоконечности и остроконечности графика. Но мне кажется, что и второй момент должен меняться для распределений с разными эксцессами (так как все они взаимосвязанны), а значит, и по второму моменту можно судить о эксцессе, а по четвёртому о дисперсии. Возможно, это менее удобно, но всё же можно. В чём я не прав?

-- 08.12.2012, 03:09 --

Я не спрашиваю, можно ли поменять названия явлений, а только можно ли некоторые явления определять иначе, чем написано в учебнике. Например, эксцесс определяется, как отношение четвёртого момента к среднему квадратичному отклонению минус 3. Возможно ли измерять это явление (остроконечность) по другой шкале, не зависящей от четвёртого момента?

[Александрович]

f(x(t)) в сообщении #655712 писал(а):

Возможно ли измерять это явление (остроконечность) по другой шкале, не зависящей от четвёртого момента?

Через квантильные оценки:

эксцесс=$\frac {X_{0.75}- X_{0.25}}{ X_{0.90}- X_{0.10}} - 0,263$

Лотар Закс "Статистическое оценивание" 1976.

Ha странице 99. Там же оценка для асимметрии.

[Евгений Машеров]

Ну, давайте рассмотрим три простых примера распределений. В каждом из них случайная величина с вероятностью (1-p) принимает значение 0, а с вероятностью p/2 значения a и -a. Очевидно, среднее (и все вообще нечётные моменты) нулевое, и начальные моменты совпадают с центральными (это несущественно для рассуждений, но сильно упрощает выкладки)
Чётные же моменты равны
$M_{2k}=pa^{2k}$
так что можно для каждого p выбрать a так, чтобы момент второго порядка (дисперсия) был бы постоянен (для определённости - равен единице)
$a=p^{-1/2}$

$p=1 \ a=1$
Момент четвёртого порядка также единица, эксцесс равен -2 (теоретический минимум)

$p=0.01 \ a=10$
Момент четвёртого порядка 100, эксцесс равен 97 (величина теоретически неограничена).
Дисперсия, повторяю, постоянна.

И замечу, что "эксцесс измеряет остроконечность" это не объяснение, а пояснение, в смысле помогает запомнить (что полезно)и даже создать "приятное чувство понимания" (что не всегда полезно), но не объясняет суть вопроса.
Лично я бы видел главный смысл эксцесса в измерении не формы вершины, а наличия "тяжёлых хвостов", больших отклонений, не предсказуемых "нормальной теорией".

[andy5000]

все написано Вентцель Е.С. - Теория вероятностей - 1969 стр 97-98

[levtsn]

Евгений Машеров в [url=http://dxdy.ru/post655796.html#p655796] писал(а):

Лично я бы видел главный смысл эксцесса в измерении не формы вершины, а наличия "тяжёлых хвостов", больших отклонений, не предсказуемых "нормальной теорией".

согласен. мы поставляем системы управления случайной вибрацией. все производители задают СКЗ, а один еще и момент эксцесса. так вот МЭ как раз влияет на плотность на краях распределения. а потому что реальные процессы часто имеют не гауссовское распределение.