Глобальная инерциальная система координат

[SergeyGubanov]

Инерциальность - движение по времениподобной геодезической.

Время - длина мировой линии (часов) делённая на $c$.

В системе координат

$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j}(x, t) dx^i dx^j$

линии координаты $x^0 = c \, t$ - времениподобные геодезические. Итого: $t$ - время, инерциальное, задано глобально.

А значит, перед вами глобальная инерциальная система координат.

Someone в сообщении #655241 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #654987 писал(а):

я под глобальным временем имею ввиду время в глобальной инерциальной системе координат:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j}(x, t) dx^i dx^j$$

Вообще-то, такая система координат называется синхронной, а не "глобальной инерциальной". Смотрите Ландау и Лифшица, том 2, там есть специальный параграф, посвящённый синхронным системам отсчёта. Никакой инерциальности в ней нет, поскольку в присутствии гравитационного поля инерциальных систем отсчёта, как правило, нет. Существуют только локальные инерциальные системы отсчёта - в достаточно малой области и в течение достаточно малого промежутка времени. Затем гравитационное поле искривляет мировые линии свободно падающих материальных точек.

SergeyGubanov в сообщении #655132 писал(а):

Ну здрасте приехали! Космологические модели изначально строятся в глобальном инерциальном времени. Например, в такой метрике:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - a^2 (t) \left( dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right)$$

Откуда выскочила инерциальность? Вы хотите сказать, что относительно друг друга частицы движутся по прямым и равномерно?

То что в ЛЛ2 глобальную инерциальную систему координат называют синхронной знают всё присутствующие (я на это надеюсь). Вы не правы на счёт существования только локальных инерциальных систем координат. Глобальная инерциальная система координат почти всегда существует, её метрика указана выше. По крайней мере она существует в пространствах событий не имеющих проблем с принципом причинности и геодезической неполнотой. Инерциальность выскочила из движения по конгруэнции времениподобных геодезических.

Ну и ещё маленькое замечание. Локальную инерциальную систему координат можно задать вдоль всей времениподобной геодезической, а вовсе не "в течение достаточно малого промежутка времени", как пишите Вы. Это известно даже ЛЛ2. Математически это выражается в возможности занулить $\Gamma^i_{j k}$ вдоль всей геодезической. При этом производные от $\Gamma^i_{j k}$ занулить нельзя при наличии кривизны.

-- 07.12.2012, 00:28 --

Шимпанзе в сообщении #655170 писал(а):

Итак, собственное время названо глобальным временем…. У каждого на часах свое глобальное время. Оригинально.

Глобальное время это время $t$ в глобальной инерциальной системе координат (по классификации ЛЛ2 в синхронной системе).

[Утундрий]

Почему-то не упомянуто, что Волга впадает в Каспийское море.

[SergeyGubanov]

pohius в сообщении #655189 писал(а):

То же самое у вас, SergeyGubanov, когда вы "распрямляете" масштаб временной линейки, под это "распрямление" подстраиваются и все остальные линейки, и искажаются. Это хорошо видно, сравнивая вашу метрику с метрикой Шварцшильда.
Понятно что из данной метрики можно придумать очень много других. Но они должны быть в наиболее простой форме, либо давать какие-то бонусы. Бонусов я никаких не вижу, только усложнение.

Мне мысль понятна. Попробую изложить так чтоб другим тоже стало понятно.

В произвольной системе координат координата $x^0$ не является временем, это произвольная функция, от балды.

Если у рассматриваемого пространства событий нет проблем с принципом причинности или геодезической неполнотой (или ещё каких язъянов страшных и ужасных), то можно отыскать глобальную конгруэнцию времениподобных геодезических, которая и задаёт структуру глобального времени $t$ на этом пространстве событий.

Поскольку $x^0$ можем брать любой, то можно взять и то самое глобальное время $x^0 = c \,t $.

Про бонусы рановато... вон народ ещё не врубается о чём я.

-- 07.12.2012, 00:48 --

Munin в сообщении #655260 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #655132 писал(а):

Ну здрасте приехали! Космологические модели изначально строятся в глобальном инерциальном времени.

Независимо от ваших фантазий и переименований, космологические модели строятся иначе.

Независимо от вашего непонимания, космологические модели строятся в глобальном времени.

[Утундрий]

Мда. Это какое-то особо запущенное "тихо, сам с собою..."

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #655328 писал(а):

Почему-то не упомянуто, что Волга впадает в Каспийское море.

Да я, как бы, вообще в шоке, что надо такую элементарщину разжёвывать.

-- 07.12.2012, 00:52 --

Утундрий в сообщении #655337 писал(а):

Мда. Это какое-то особо запущенное "тихо, сам с собою..."

Это переезд из чужой ветки.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #655338 писал(а):

Это переезд из чужой ветки.

Так и отвечали бы в соответствующих ветках. А то больно массовый переезд получился. Подозреваю, что и ничем не инспирированный.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #655325 писал(а):

Инерциальность - движение по времениподобной геодезической.

Время - длина мировой линии (часов) делённая на $c$.

В системе координат

$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j}(x, t) dx^i dx^j$

линии координаты $x^0 = c \, t$ - времениподобные геодезические. Итого: $t$ - время, инерциальное, задано глобально.

А значит, перед вами глобальная инерциальная система координат.

Чушь.
Инерциальная система отсчёта - это такая система отсчёта, в которой каждое тело, на которое не действуют никакие силы, движется по прямой с постоянной скоростью (или покоится). В частности, относительное ускорение для любой пары таких тел равно нулю.

SergeyGubanov в сообщении #655325 писал(а):

Математически это выражается в возможности занулить $\Gamma^i_{j k}$ вдоль всей геодезической. При этом производные от $\Gamma^i_{j k}$ занулить нельзя при наличии кривизны.

Это ерунда. Если Вы подождёте достаточно долго, то обнаружите, что из-за девиации геодезических тела, ранее покоившиеся относительно друг друга, придут в движение.

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #655342 писал(а):

Чушь.
Инерциальная система отсчёта - это такая система отсчёта, в которой каждое тело, на которое не действуют никакие силы, движется по прямой с постоянной скоростью (или покоится). В частности, относительное ускорение для любой пары таких тел равно нулю.

Ключевое здесь "(или покоится)", так как в искривлённом пространстве движение "по прямой с постоянной скоростью", немножко неуместно.

В инерциальной системе координат покоящиеся свободные частицы остаются в состоянии покоя бесконечно долго.

Поищем глобальные времениподобные геодезические?

$$\frac{1}{c^2} \left( \frac{\partial S}{\partial t} \right)^2 - \gamma^{i j} \frac{\partial S}{\partial x^i} \frac{\partial S}{\partial x^j} = m^2 c^2$$

Глобальное решение:

$$S = - m c^2 t$$

В этой глобальной системе координат покоящиеся свободные частицы остаются в состоянии покоятся бесконечно долго. Что и требовалось доказать.

Someone в сообщении #655342 писал(а):

Это ерунда. Если Вы подождёте достаточно долго, то обнаружите, что из-за девиации геодезических тела, ранее покоившиеся относительно друг друга, придут в движение.

Локальная инерциальная система координат вводится в бесконечно малой окрестности времениподобной геодезической. Эта бесконечная малость на столько бесконечно мала (ух как мала!!!), что даже если подождать долго, то ничего не дождешься.

-- 07.12.2012, 01:45 --

ЛЛ2, параграф 85, сноска на стр. 326

Цитирую:

Цитата:

Можно показать также, что надлежащим выбором системы координат можно обратить в нуль все $\Gamma^{i}_{k l}$ не только в данной точке, но и вдоль заданной мировой линии (доказательство этого утверждения можно найти в книге П. К. Рашевский, Риманова геометрия и тензорный анализ, Наука, 1964, параграф 91).

-- 07.12.2012, 02:04 --

Ну и ещё одно замечание. Не смотря на то, что покоящиеся свободные частицы в инерциальной системе координат остаются в состоянии покоя бесконечно долго (не меняют своих координат в этой системе координат), растояние между частицами может меняться со временем как угодно сильно просто в силу того что метрика может зависеть от времени. Сама координатная сетка подвижная. Сетка движется, а частицы к этой сетке "прибиты гвоздями", то есть относительно неё самой они своих координат не меняют.

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #655349 писал(а):

Ключевое здесь "(или покоится)", так как в искривлённом пространстве движение "по прямой с постоянной скоростью", немножко неуместно.

Гы-гы-гы! Это и означает, что инерциальной системы отсчёта нет.

SergeyGubanov в сообщении #655349 писал(а):

В инерциальной системе координат покоящиеся свободные частицы остаются в состоянии покоя бесконечно долго.

Поищем глобальные времениподобные геодезические?

$$\frac{1}{c^2} \left( \frac{\partial S}{\partial t} \right)^2 - \gamma^{i j} \frac{\partial S}{\partial x^i} \frac{\partial S}{\partial x^j} = m^2 c^2$$

Глобальное решение:

$$S = - m c^2 t$$

В этой глобальной системе координат покоящиеся свободные частицы остаются в состоянии покоятся бесконечно долго. Что и требовалось доказать.

Очередная порция ерунды. Особенно забавно получится, если "вечно покоящиеся" частицы "вдруг" начнут сталкиваться на каустике.

SergeyGubanov в сообщении #655349 писал(а):

Локальная инерциальная система координат вводится в бесконечно малой окрестности времениподобной геодезической. Эта бесконечная малость на столько бесконечно мала (ух как мала!!!), что даже если подождать долго, то ничего не дождешься.

На фоне того, что Вы только что говорили о глобальной инерциальной системе отсчёта, это заявление выглядит как паническое бегство.
Кстати, не сформулируете ли определение: что такое бесконечно малая окрестность? До сих пор такого определения не встречал.

SergeyGubanov в сообщении #655349 писал(а):

Ну и ещё одно замечание. Не смотря на то, что покоящиеся свободные частицы в инерциальной системе координат остаются в состоянии покоя бесконечно долго (не меняют своих координат в этой системе координат), растояние между частицами может меняться со временем как угодно сильно просто в силу того что метрика может зависеть от времени.

Ага, сами заметили. Только не забудьте, что (механическое) движение - это и есть изменение расстояний между частицами.

SergeyGubanov в сообщении #655349 писал(а):

Сама координатная сетка подвижная.

Вот именно. Координатная сетка движется, и частицы вместе с ней. Каждая своим путём.

SergeyGubanov в сообщении #655132 писал(а):

Хочешь Шварцшильда в глобальной инерциальной системе координат? Вот, пожалуйста:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \left( \frac{2}{3} \frac{r_g}{r - c t}\right)^{2/3} dr^2 - \left( \frac{3}{2} \right)^{4/3} {r_g}^{2/3} \left(r - c t \right)^{4/3} \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 d \varphi^2 \right) $$

Вот тут у Вас "неподвижные" частицы сталкиваются: при $t=\frac rc$ расстояния между частицами, расположенными на сфере "радиуса" $r$, обращаются в $0$. Член с $dr^2$ пропадает, так как $r=\mathrm{Const}$ и $dr=0$.

[pohius]

SergeyGubanov в сообщении #655325 писал(а):

Время - длина мировой линии (часов) делённая на $c$.

SergeyGubanov в сообщении #655334 писал(а):

В произвольной системе координат координата $x^0$ не является временем, это произвольная функция, от балды.

В первом случае у нас собственное время, наши наручные часы. Во втором случае координатное время, а не от балды. Оно показывает когда произошло событие в нашей СО.

SergeyGubanov в сообщении #655325 писал(а):

Математически это выражается в возможности занулить $\Gamma^i_{j k}$ вдоль всей геодезической.

Не понял как они зануляются, там ведь производные от метрического тензора, они равны нулю только в плоском пространстве. То есть если вы рассматриваете окрестность, то да - зануляются, но когда интегрируйте по некоторой длине, то не ноль.

[SergeyGubanov]

Someone
Вы меня вчера ночью взбесили. Сейчас я выспался, и сожалею о своём вчерашнем резком посте.

Давайте по-порядку.

Обратите внимание, что я говорю про систему координат, а вы мне в ответ говорите про систему отсчёта.

Определение инерциальной системы координат безукориненно (покоящиеся частицы остаются в состоянии покоя бесконечно долго, т. е. не меняют своих координат в этой системе координат).

То что подвижная координатная сетка при этом с течением времени всячески кувыркается в пространстве растягиваясь или ужимаясь сути дела не меняет. Она (точнее, частицы прибитые к ней гвоздями) делает это "по инерции", то есть она инерциальная. Это абсолютно безукоризненное определение инерциальной системы координат. Даже если где-то координатная сетка сжимается в точку, то даже тогда покоящиеся частицы своих координат не меняют. Просто расстояние между ними уменьшается до нуля. То же самое в случае расширения Вселенной. Не галактики движутся, а расстояние между ними увеличивается. Надеюсь, что это понятно.

Теперь про зануление $\Gamma^{i}_{j k}$ в бесконечно малой окрестности вдоль мировой линии. $\Gamma^{i}_{j k}$ это первые производные от метрики. Раскладываем метрику в ряд с точностью до первого порядка малости по отклонению от линии. Математическое содержание слов "бесконечно малая окрестность" заключается в отбрасывании величин начиная от второго порядка малости. Подкручиваем систему координат так, чтобы вдоль линии первые производные метрики обращались в ноль. Вторые производные от метрики - это уже второй порядок малости, мы его отбросили по определению бесконечно малой окрестности.

От чего зависит девиация геодезических? Она зависит от тензора кривизны. Тензор кривизны это вторые производные от метрики, это второй порядок малости.

Бесконечно малая окрестность $\Gamma^{i}_{j k} = 0$ - первый порядок малости.
Девиация геодезических $R^{i}_{j k l} \ne 0$ - второй порядок малости.

pohius
Интегрировать вдоль чего? Вдоль мировой линии связности обращены в нуль точно. Если интегрировать вдоль мировой линии, то точно нуль и будет. Около же линии, в бесконечно малой окрестности, погрешность будет во втором порядке малости.

[Шимпанзе]

SergeyGubanov в сообщении #655460 писал(а):

покоящиеся частицы остаются в состоянии покоя бесконечно долго, т. е. не меняют своих координат в этой системе координат

Ваще то любой самый поганый предмет как бы он не двигался не меняет своих координат относительно самого себя. То есть относительно самого себя предмет остается в покое бесконечно долго, пока жив. Дальше то что....
А инерциальная система координат понятие вроде не из физики. Может из альтфизики?

[SergeyGubanov]

Шимпанзе в сообщении #655472 писал(а):

А инерциальная система координат понятие вроде не из физики.

Вроде вы не знаете чем отличается система координат от системы отсчёта.

[Шимпанзе]

SergeyGubanov в сообщении #655477 писал(а):

Шимпанзе в сообщении #655472 писал(а):

А инерциальная система координат понятие вроде не из физики.

Вроде вы не знаете чем отличается система координат от системы отсчёта.

Не передергивайте . Я не знаю инерциальной системы координат.

[SergeyGubanov]

Шимпанзе в сообщении #655483 писал(а):

Не передергивайте . Я не знаю инерциальной системы координат.

Это не беда. Хотите об этом поговорить?