Дифференциалы

[TamaGOch]

что означает это задание?
найти $\frac{d}{d(x^3)}(x^3-2x^6-x^9)$

быть может что-то такое? $\frac{d(x^3-2x^6-x^9)}{d(x^3)((x^3)^1-2(x^3)^2-(x^3)^3)} = \frac{(3x^2-12x^5-9x^8)dx}{(1-4(x^3)^1-3(x^3)^2)dx} = \frac{3x^2-12x^5-9x^8}{1-4x^3-3x^6}$ ?

В ответе записано значение знаменателя((
или, это $d(\frac{1}{x^3})$

[olenellus]

Надо это понимать так, что произведена замена координат $x\mapsto x^3$, и надо найти значение нового базисного вектора на функции $x^3-2x^6-x^9$, записанной в старых координатах. Можно решать по-разному. Можно найти новый базисный вектор в старом базисе (выразить через старый). Можно выразить функцию в новых координатах.

А то, что сделил Вы, я не очень понимаю.

[TamaGOch]

olenellus а, то есть запись $\frac{d}{d(x^3)}$ означает замену? а я думал это дробь), спасибо

-- 05.12.2012, 19:54 --

olenellus а можно тогда узнать, почему в ответе нет приписки типа $(1-4x^3-3x^6)d(x^3)$ или другой, а просто $1-4x^3-3x^6$

[nikvic]

TamaGOch в сообщении #654657 писал(а):

...то есть запись $\frac{d}{d(x^3)}$ означает замену? а я думал это дробь)...

Это вполне можно понимать и как дробь. Именно, нужно найти результат деления дифференциалов двух функций ("идеология" Ньютона).

Но находить их не обязательно, можно и через замену переменных.

[olenellus]

Ммм... да, это корректнее, чем то, что я написал. То есть, нужно найти отношение значений двух 1-форм на любом (ненулевом) векторе.

А если спуститься с небес на Землю, то здесь требуют найти производную

$$\frac{\mathrm{d}f(y)}{\mathrm{d}y},$$

где $y=x^3$, а $f(y)=x^3-2x^6-x^9$.

[Dan B-Yallay]

Можно просто поделить числитель и знаменатель дроби на $dx$, eсли поймете, как это обосновать.

[nikvic]

Dan B-Yallay в сообщении #654669 писал(а):

Можно просто поделить числитель и знаменатель дроби на $dx$, eсли поймете, как это обосновать.

Это входит в формализм исчисления дифференциалов. Обычно только упоминается как эквивалент "теоремы о производной сложной функции".

[miflin]

TamaGOch в сообщении #654650 писал(а):

что означает это задание?
$\frac{d}{d(x^3)}(x^3-2x^6-x^9)$

А почему не просто по-крестьянски, без старых-новых базисов, открытым текстом:
$t=x^3$

$\frac{d}{d(x^3)}(x^3-2x^6-x^9)$=$\frac{d}{dt}(t-2t^2-t^3)$=$(1-4t-3t^2)$=$(1-4x^3-3x^6)$

[Dan B-Yallay]

nikvic в сообщении #654672 писал(а):

Это входит в формализм исчисления дифференциалов. Обычно только упоминается как эквивалент "теоремы о производной сложной функции".

Согласен. Просто подсказал еще один эквивалентный способ решения.