Линейная алгебра, определитель и задача на доказательство

[SunLine]

Здравствуйте! У меня две проблемы: найти определитель и доказать утверждение.
Задача 1.

$$ \qquad \begin{vmatrix} 213 & 186 & 162 & 137 \\ 344 & 157 & 295 & 106 \\ 419 & 418 & 419 & 418 \\ 417 & 416 & 417 & 416 \\ \end{vmatrix} \qquad $$

Заметил, что если умножить последнюю на (-1) и прибавить к предпоследней, а полученный результат умножить на (1/2), то будет такой определитель:

$$ \qquad \begin{vmatrix} 213 & 186 & 162 & 137 \\ 344 & 157 & 295 & 106 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 417 & 416 & 417 & 416 \\ \end{vmatrix} \qquad $$

Если раскладывать по третьей строке, то там будут определители третьего порядка, но с большими числами. Упростить выражения у меня не получается, постоянно появляются корявые числа. В общем, прошу помощи с решением...
Задача 2.
Докажите, что разложение Лапласа по k строкам совпадает с разложением по остальным n-k строкам.
С доказательствами у меня плохо, хотя знаю, что доказательства развивают мышление и.т.д...но у меня не получается пока...
Знаю только само разложение Лапласа(прочитал в учебнике автора Курош). Звучит так, что если дан определитель n-ого порядка, и в нем выбраны произвольно k строк или столбцов(причем 1<=k<n-1 $\color{red}1\le k<n-1\quad\text{//AKM}$), то сумма произведений всех миноров k-го порядка, содерж. в данных строках, на их алгебраическое дополнение, равна определителю.

Прошу помощи в решении двух данных задач. Заранее спасибо!

[zhoraster]

Тема перемещена из Помогите решить/разобраться (М) в Карантин:
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$. Как это делать, можно посмотреть в теме Краткий ФАК по тегу [math]

Исправьте все свои ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

Также в качестве полезного чтения рекомендую Правила научного форума.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[zhoraster]

Зачем так сразу раскладывать? Умножьте третью строку понятно на что и отнимите от четвертой. А там авось еще что придумается.

[alcoholist]

zhoraster в сообщении #653871 писал(а):

Умножьте третью строку понятно на что и отнимите от четвертой

зачем?
Из первого столбца вычитаем третий, а из второго четвертый... и два определителя 2х2 считаем

[ewert]

SunLine в сообщении #653854 писал(а):

Если раскладывать по третьей строке, то там будут определители третьего порядка, но с большими числами. Упростить выражения у меня не получается, постоянно появляются корявые числа

Подходите к делу формальнее. Единички -- это прекрасно, теперь по шаблону применяйте метод Гаусса -- числа там расти уже не будут.

[SunLine]

ewert, я что-то не очень понял. если не трудно, то напишите, как...

[bot]

Возьмите один из столбцов и вычтите его из других.

[SunLine]

Я вычел 4 столбец из всех остальных, получил вот что:

$$ \qquad \begin{bmatrix} 76 & 49 & 25 & 137 \\ 238 & 51 & 189 & 106\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1& 416 \end{bmatrix} \qquad $$

После, я разложил по третьей строке(ибо там больше нулей и это выгодно)
$(-1)^{4+4}\cdot \qquad \begin{bmatrix} 76 & 49 & 25 \\ 238 & 51 & 189 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad$,
Ответ получился 53. Проверьте, правильно?

[zhoraster]

Исходный определитель обязан быть четным, так как по модулю 2 последние две строчки совпадают. Так что где-то Вы обсчитались.

-- Вт дек 04, 2012 16:58:32 --

Хотя Вы там разделили на два по дороге, так что все может быть.

[alcoholist]

SunLine в сообщении #654090 писал(а):

Я вычел 4 столбец из всех остальных

послушайте доброго совета:

alcoholist в сообщении #653922 писал(а):

Из первого столбца вычитаем третий, а из второго четвертый

[zhoraster]

Нет, не может быть. В последнем определителе по модулю два первые две строчки совпадают, 53 не могло получиться. Да и знак Вы неправильно посчитали.

[ewert]

SunLine в сообщении #654090 писал(а):

Ответ получился 53. Проверьте, правильно?

Вы забыли на два умножить. И вообще метод Гаусса -- это такой метод Гаусса:

$$\begin{vmatrix} 213 & 186 & 162 & 137 \\ 344 & 157 & 295 & 106 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 417 & 416 & 417 & 416 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 213 & 186 & 162 & 137 \\ 344 & 157 & 295 & 106 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 213 & 186 & 162 & 137 \\ 344 & 157 & 295 & 106 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}=$$

$$=\begin{vmatrix} 0 & 186 & -51 & 137 \\ 0 & 157 & -49 & 106 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -51 & -49 \\ 0 & 0 & -49 & -51 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -49 & -51 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix}$$

[SunLine]

alcoholist
Вроде посчитал. Сделал, как Вы советовали. Еще вычел из третьего четвертый получился такой определитель:

$$ \qquad \begin{vmatrix} 51 & 49 & 25 & 137 \\ 49 & 51 & 189 & 106 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 416 \end{vmatrix} \qquad $$

Разложил по третьей строке, поучилось вот что:
$(-1)^{3+4}\cdot\qquad \begin{vmatrix} 51 & 49 & 25 \\ 49 & 51 & 189 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \qquad $

$(-1)({51^2 - 49^2})=-200$
проверьте, пожалуйста, так?

[alcoholist]

SunLine в сообщении #654125 писал(а):

Еще вычел из третьего четвертый получился такой определитель:

$$ \qquad \begin{vmatrix} 51 & 49 & 25 & 137 \\ 49 & 51 & 189 & 106 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 416 \end{vmatrix} \qquad $$

вот неправильно же вычли! на местах 33 и 34 откуда 0 и 1???