электрон и ядро

[kostiani]

Помогите найти вероятность того что электрон в атоме водорода будет находиться в области ядра.

[Maximpg]

Ну так возьмите известное решение $\psi(\mathbf{r})$ для электрона в основном состоянии, его модуль и будет, в общем-то, плотностью "вероятности находиться в данном месте. Дальше интегрируете по интересующей Вас области. По определению волновой функции, собственно. Слабое взаимодействие не учитываем. Но это "в области" ядра, то есть не совсем маленькой. Внутри же ядра надо будет учитывать его размеры, думаю поправка будет довольно сильной.

[Comanchero]

Maximpg в сообщении #651924 писал(а):

его модуль и будет

А не квадрат модуля = плотности вероятности?

[rotozeev]

В разных состояниях (n,l) будет разная вероятность, а в задаче не указано о каком состоянии речь. А если речь идет про основное состояние, то может можно просто оценить по отношению размера протона к размеру атома в кубе.

[kostiani]

Maximpg в сообщении #651924 писал(а):

Ну так возьмите известное решение $\psi(\mathbf{r})$ для электрона в основном состоянии,

Вы имеете ввиду это уравнение?
$ \Delta\psi + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E+\frac{e^2}{r} \right) \psi = 0. $

[Maximpg]

Comanchero в сообщении #651965 писал(а):

А не квадрат модуля = плотности вероятности?

Да, разумеется, квадрат модуля или $\psi^*\psi$. Извините.

kostiani писал(а):

Вы имеете ввиду это уравнение?
$ \Delta\psi + \frac{2m}{\hbar^2} \left( E+\frac{e^2}{r} \right) \psi = 0. $

Да, решение этого равнения с параметрами, допустим, $n=1,\,l=0,\,m=0$, где $m$, конечно, не масса, как в приведенном вами уравнении, а магнитное число, определяющее зависимость функции от угла $\varphi$.

[kostiani]

В таком случае вероятность равна нулю?
Дополнение:
В самом деле хочу разобраться в данном вопросе, однако понимаю что возможно не смогу осмыслить всю глубину данного решения, но постараюсь в рамках тех знаний которыми обладаю с целью увеличения этих знаний.

[Munin]

Maximpg в сообщении #651924 писал(а):

Внутри же ядра надо будет учитывать его размеры, думаю поправка будет довольно сильной.

$\psi$ в этой области примерно константа, так что ваш рецепт на "внутри ядра" хорошо распространяется. Порядки величин: размер электронного облака $a_{0}\sim 10^{-10}\text{ м},$ размер ядра $\sim 10^{-15}\text{ м}.$ Точнее, для тяжёлых элементов размер электронного облака $\sim Z^{-1},$ а размер ядра примерно $\sim Z^{1/3},$ но разница более чем на 2 порядка всё равно остаётся. А размер электронного облака - это и характерное расстояние, на котором меняется его плотность.

Для $s$-состояний это будет не нуль, а для не $s$-состояний - практически нуль. Через эту вероятность рассчитывают, например, лэмбовский сдвиг.

-- 30.11.2012 19:21:48 --

Уравнение записано с ошибкой.

[Maximpg]

А, да, в $s$-состоянии действительно ненулевая константа, все хорошо. Но вот для ненулевых $l$ волновая функция обращается в центре в $0$, а значит, чтобы узнать насколько она мала, даже по порядку, нужно решать уже сложное уравнение. Других способов, по крайней мере, я не знаю.

Munin в сообщении #652068 писал(а):

Уравнение записано с ошибкой.

Проверяю и сверяю - все вроде ОК. Неужто и Messiah врет?

$$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta-\frac{e^2}{r}\right]\psi(\mathbf{r})=E\psi(\mathbf{r})$$

[Munin]

Maximpg в сообщении #652096 писал(а):

Проверяю и сверяю - все вроде ОК.

Пардон, это я ошибся. На один знак посмотрел, на другой нет.

Мессиа - молоток, читайте его больше. В русском переводе есть.

Насколько мала в. ф. в центре для ненулевых $l$ - тоже можно судить по поведению её в области ядра, а не в самом ядре. Дело в том, что $\psi$ вне и внутри ядра сшиваются на границе по значению функции и её производной. А вторая производная в ядре перестаёт расти, и грубо её можно считать константой. Вот и получаются всего лишь не более чем квадратичные варианты, численной оценке поддающиеся легко.

Для больших $l$ можно рассмотреть на границе ядра $\psi(r_0,\varphi)\sim\sin l\varphi,$ и приравнять вторую производную вдоль и поперёк границы ядра.

М. б. вас заинтересует книга Мигдала "Качественные методы в квантовой теории" (в первом издании "Приближённые методы квантовой механики", но там примерно половина от второго издания).

[kostiani]

Я не отвечаю как ТС потому что перевариваю и разбираюсь с ответами. Ищу подходящий вопрос.

-- 30.11.2012, 21:49 --

Munin в сообщении #652123 писал(а):

Пардон, это я ошибся. На один знак посмотрел, на другой нет.

Просьба не ошибаться, поскольку это имеет свои последствия для того кто и материал то знает не качественно, и может вследствие этого уйти в фантазии.
( Не для себя для других.)

[Munin]

(Оффтоп)

kostiani в сообщении #652166 писал(а):

Просьба не ошибаться

А я с вами не разговаривал.

[kostiani]

Munin в сообщении #652197 писал(а):

(Оффтоп)

kostiani в сообщении #652166 писал(а):

Просьба не ошибаться

А я с вами не разговаривал.

(Оффтоп)

А я не для вас это говорил. Педагогика ....Азы...
Для Вас - не оффтопте больше. Некрасиво. Являетесь причиной оффтопа для других

[arseniiv]

(Оффтоп)

А давайте вычислим долю сообщений с оффтопом для вас и Munin. Пусть вычислит третье лицо. И…

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #652221 писал(а):

А давайте вычислим долю сообщений с оффтопом для вас и Munin.

Лучше вычислить долю сообщений без оффтопа. Тогда kostiani только ленивый не обойдёт. У него будет чистый нуль.