Плотность числовой последовательности

[vicvolf]

В теме буду использовать обозначения темы "Равномерность" Руста.
В асимптотической формуле простых чисел ($x_n=f(n)$) количество простых чисел записывается через плотность их распределения в натуральном ряду на интервале [2,x):
$\pi(f,2,x)\sim \int_{2}^{x}{\frac {dt} {\ln(t)}dt}$, (1)
где соответственно плотность распределения простых чисел:
$P(f,2,x)\sim {\frac {1} {\ln(t)}}$ .(2)
Для количества простых чисел в арифметической прогрессии $y_n=g(n)=kn+l$, где $(k,l)=1$ на интервале [2,x):
$\pi(f,g,2,x)\sim \frac {1} {\varphi(k)}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {\ln(t)}dt}$, (3)
где $\varphi(k)$ - функция Эйлера.
Из формулы (3) можно предположить, что плотность распределения простых чисел в арифметической прогрессии будет:
$P(f,g,2,x)\sim {\frac {1} {\varphi(k) \ln(t)}}$,(4)
но это не так.
Рассмотрим распределение последовательности простых чисел в последовательности нечетных чисел $g(n)=2n+1$. Здесь $k=2$, поэтому $\varphi(2) =1$. При сопоставлении формул (1) и (3) в этом случае мы получаем, что плотности распределения простых чисел в натуральном ряду и в последовательности нечетных чисел совпадает. Проверим это.
Возьмем интервал натурального ряда [3,11). Количество чисел на данном интервале в натуральном ряду - 8. Количество простых чисел на данном интервале -3. Следовательно, плотность простых чисел в натуральном ряду на данном интервале - 3/8. Количество нечетных чисел на данном интервале -4. Следовательно, плотность простых чисел в последовательности нечетных чисел на данном интервале -3/4, т.е в 2 раза больше.
На самом деле асимgтотическое равенство (3) показывает только, что в каждой арифметической прогрессии $kn+l, (k,l)=1$ содержится одинаковое число простых чисел. Действительно, число прогрессий с разностью $k$, где $(k,l)=1$ равно $\varphi(k)$ и как показывает (3), на долю каждой из них приходится ${\frac {1} {\varphi(k)}}$ часть простых чисел, лежащих на интервале [2,x).

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[venco]

Мне кажется ваше $\pi(f,g,2,x)$ - не плотность простых, а количество простых $\le x$. Соответственно, чтобы получить плотность простых в арифметической прогрессии, надо домножить на $k$.

[vicvolf]

venco в сообщении #651522 писал(а):

Мне кажется ваше $\pi(f,g,2,x)$ - не плотность простых, а количество простых $\le x$.

Я так и написал -

-- 29.11.2012, 20:35 --

vicvolf в сообщении #651484 писал(а):

Для количества простых чисел в арифметической прогрессии $y_n=g(n)=kn+l$, где $(k,l)=1$ на интервале [2,x):
$\pi(f,g,2,x)\sim \frac {1} {\varphi(k)}\int_{2}^{x}{\frac {dt} {ln(t)}dt}$, (3)
где $\varphi(k)$ - функция Эйлера.

-- 29.11.2012, 20:37 --

venco в сообщении #651522 писал(а):

Соответственно, чтобы получить плотность простых в арифметической прогрессии, надо домножить на $k$.

Согласен, но Вы немного опережаете события. Об этом будет в продолжении.

[venco]

vicvolf в сообщении #651613 писал(а):

venco в сообщении #651522 писал(а):

Соответственно, чтобы получить плотность простых в арифметической прогрессии, надо домножить на $k$.

Согласен, но Вы немного опережаете события. Об этом будет в продолжении.

Зачем в продолжении. Формулу (4) наверху надо на $k$ умножить и всё сойдётся.

[vicvolf]

venco в сообщении #651692 писал(а):

Формулу (4) наверху надо на $k$ умножить и всё сойдётся.

Докажите?

[venco]

vicvolf в сообщении #651756 писал(а):

venco в сообщении #651692 писал(а):

Формулу (4) наверху надо на $k$ умножить и всё сойдётся.

Докажите?

Дык, вы почти всё уже написали.
Количество простых чисел такого вида: ...
Количество всех чисел такого вида: ...
Плотность простых среди чисел такого вида: ...

[vicvolf]

venco в сообщении #651774 писал(а):

vicvolf в сообщении #651756 писал(а):

venco в сообщении #651692 писал(а):

Формулу (4) наверху надо на $k$ умножить и всё сойдётся.

Докажите?

Дык, вы почти всё уже написали.
Количество простых чисел такого вида: ...
Количество всех чисел такого вида: ...
Плотность простых среди чисел такого вида: ...

Но я пока только пример дал, как не надо понимать плотность, а формулу для определения плотности в общем виде не давал. А может формула плотности для данного случая просто $k/ln(x)$?

[vicvolf]

Продолжение
Обозначим количество чисел в последовательности f(n) на интервале [A, B) - $\pi(f,A,B)$.
Понятие плотности распределения в теории чисел возникает тогда, когда мы говорим о распределении одной последовательности чисел f(n) в другой последовательности чисел g(n). Например, мы говорим о плотности распределения последовательности простых чисел в последовательности натурального ряда. Плотность также зависит от интервала.
Из приведенного примера вытекают следующие определения для конечного интервала [A, B):
Пусть для последовательности f(n) выполняется на концах интервала:a=f(A), b=f(b). Тогда:
1. Плотность последовательности чисел f(n) на последовательности натурального ряда:
$P(f,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {B-A}$,(1)
2. Плотность последовательности чисел f(n) в последовательности g(n) на интервале [A, B):
$P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {\pi(g,A,B)}.(2) $
Обратим внимание, что $\pi(g,A,B)$ - это количество членов последовательности g(n) в натуральном ряде. Поэтому $a\leq g(n)\leq b$ => $g^{-1}(a)\leq n\leq g^{-1}(b)$. Тогда $\pi(g,A,B)= [g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1$,(3) где верхняя граница округляется по низу, а нижняя по верху. В случае, если $g^{-1}(b)$ целое число, то вместо $[g^{-1}(b)]$ в выражение (3) подставляется $[g^{-1}(b)] -1$.
Поэтому формулу (2), в случае сушествования обратной функции, можно представить в виде:
$P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {[g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1}.(4) $
В качестве примера мы рассмотрим в продолжении определение плотности распределения простых чисел в последовательности $n^2+1$.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #652224 писал(а):

Поэтому формулу (2), в случае сушествования обратной функции, можно представить в виде:
$P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {[g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1}.(4) $
В качестве примера мы рассмотрим в продолжении определение плотности распределения простых чисел в последовательности $n^2+1$.

Продолжение
Напомню, что достаточным условием существования обратной функции является непрерывность и монотонность исходной функции.
В случае, если функция g(x) - убывающая, то (4) запишется в виде:
$P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {[g^{-1}(a)]-[g^{-1}(b)] +1}.(4) $
На основании формулы (4) определим плотность распределения последовательности простых чисел в последовательности $n^2+1$ на интервале [2,51).
$g(n)=n^2+1$, поэтому обратная функция имеет вид - $g^{-1}(n)=\sqrt{n-1}$. Так как функция $g(n)=n^2+1$ - возрастающая, то выражение (4) имеет вид - $P(f,g,A,B)=\frac {\pi(f,A,B)} {[g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1}.(4) $.
$[g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1=[\sqrt{51-1}]-[\sqrt{2-1}]+1=7-1+1=7$.
Простые числа в последовательности $g(n)=n^2+1$ на интервале [2,51): 2,5,17,37. Поэтому $\pi(f,A,B)=4$.
Следовательно, искомая плотность $P(f,g,A,B)=4/7$.

Рассмотрим понятие плотности распределения чисел на бесконечном интервале или асимптотической плотности.
Сначала рассмотрим плотность распределения последовательности f(n) в последовательности натурального ряда на интервале $[A, \infty)$:
$P(f,A,x)\sim \frac {\pi(f,A,x)} {x-A}$,(5)
если $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)} {x-A}}$.
Теперь рассмотрим плотность распределения последовательности f(n) в последовательности g(n) на интервале $[A,\infty)$:
$P(f,g,A,x)\sim \frac {\pi(f,A,x)} {\pi(g,A,x)},$(6)
если $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,g,A,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x) } {\pi(g,A,x) }}$.
Аналогично (4) формулу (6) в случае сушествования обратной функции к g(x) (монотонности и непрерывности) на бесконечном интервале можно записать в виде:
$P(f,g,A,x)\sim \frac {\pi(f,A,x)} {g^{-1}(x)}.$(7)

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[Sonic86]

vicvolf, если Вы хотите узнать, чем равна плотность простых вида $n^2+1$ (или вообще вида $P(n)$), то она описывается гипотезой Bateman-Horn (не знаю, как они по-русски читаются)

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #652809 писал(а):

vicvolf, если Вы хотите узнать, чем равна плотность простых вида $n^2+1$ (или вообще вида $P(n)$), то она описывается гипотезой Bateman-Horn (не знаю, как они по-русски читаются)

Спасибо за ссылку, но я этот вопрос затрагиваю только в качестве примера.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #652497 писал(а):

vicvolf в сообщении #652224 писал(а):

Рассмотрим понятие плотности распределения чисел на бесконечном интервале или асимптотической плотности.
Сначала рассмотрим плотность распределения последовательности f(n) в последовательности натурального ряда на интервале $[A, \infty)$:
$P(f,A,x)\sim \frac {\pi(f,A,x)} {x-A}$,(5)
если $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)} {x-A}}$.
Теперь рассмотрим плотность распределения последовательности f(n) в последовательности g(n) на интервале $[A,\infty)$:
$P(f,g,A,x)\sim \frac {\pi(f,A,x)} {\pi(g,A,x)},$(6)
если $\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,g,A,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x) } {\pi(g,A,x) }}$.
Аналогично (4) формулу (6) в случае сушествования обратной функции к g(x) (монотонности и непрерывности) на бесконечном интервале можно записать в виде:
$P(f,g,A,x)\sim \frac {\pi(f,A,x)} {g^{-1}(x)}.$(7)

Продолжение
Сделаю пояснение для приведенных выше асимптотических равенств.
Функция f(x) называется асимптотически равной g(x), если сушествует предел $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)/ g(x)}=1$.
Если $\lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}$ не равен 0, то $\lim \limits_{x \to \infty} {f(x)/g(x)}= \frac {\lim \limits_{x \to \infty}{f(x)}} {\lim \limits_{x \to \infty} {g(x)}}=1$, т.е.$\lim \limits_{x \to \infty}{f(x)}=\lim \limits_{x \to \infty}{g(x)}$ или $f(x)\sim g(x)$.
В формуле (5) это выполняется, так как x>A (не имеет смысл рассматривать плотность на интервале натурального ряда нулевой длины).
В формуле (6) это также выполняется, так как $\pi(g,A,x)>0$ (не имеет смысл рассматривать плотность на последовательности, не имеющей ни одного элемента).

Утверждение 1
Рассмотрим асимптотическую плотность последовательности f(n) на интервале [$A,\infty$) натурального ряда. Если для $\pi(f,A,x)\sim C\int_{A}^{x}{F(t)dt}$, то $P(f,A,x)\sim CF(x)$.
Доказательство
Для непрерывной функции F(t) на основании теореме о среднем для определенного интеграла выполняется:
$\int_{A}^{x}{f(t)dt} = (x-A)F(t*) ,$ (8)
где $A\leq t*\leq x$.
На основании формул (5) и (8):
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,A,x)}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {\pi(f,A,x)} {x-A}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C\int_{A}^{x}{f(t)dt}} {x-A}}=\lim \limits_{x \to \infty} {\frac {C(x-A)F(t*)} {x-A}}=\lim \limits_{x \to \infty} {CF(x)}$.
Следовательно, $P(f,A,x)\sim CF(x)$.(9) ч.т.д.

Примером выполнения утверждения 1 является распределение простых чисел в последовательности натуральног ряда.
Количество простых чисел на интервале [$2,\infty$} определяется асимптотической формулой $\pi(f,2,x)\sim \int_{2}^{x}{1/ln(t)dt}$,
поэтому на основании утверждения 1 плотность простых чисел в последовательности натурального ряда определяется асимптотической формулой $P(f,2,x)\sim 1/ln(x)$.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение.

Вторым примером, который я хотел рассмотреть, является плотность последовательности приведенной системы вычетов по модулю $m=2 \cdot 3...p_r$ (ПСВm) f(n) в натуральном ряде.
Для ограниченного интервала [1,m] плотность на основании (1):
$P(f,1,m)=\frac {\pi(f,1,m)} {m}=\varphi(m)/m=\prod_{i=1}^{r}{(1-\frac {1} {p_i}).$
Теперь рассмотрим асимптотическую плотность ПСВm f(n) в натуральном ряде.
Зафиксируем значение x $(1<x\leq m)$. Будем неограниченно увеличивать $p_r$ ($p_r$ стремится к бесконечности). При этом $m=2 \cdot 3...p_r$ также стремится к бесконечности. Когда $p^2_{r+1}\geq x$, то все вычеты ПСВm -$p_i<x$ будут простыми числами. Поэтому плотность вычетов ПСВm в натуральном ряде будет совпадать с плотностью простых чисел в натуральном ряде - $P(f,2,x)\sim 1/ln(x)$, что подтверждено в теме данного форума - "Оценка количества некоторых групп чисел среди простых чисел" при длине кортежа $k=1$.
Третий пример - это плотность близнецов ПСВm f(n) в натуральном ряде.
В теме "Бесконечность простых чисел близнецов" vorvalm вывел формулу для определения количества близнецов в ПСВm:
$\pi(f,m)=\prod_{3\leq p \leq p_r}{(p-2)}.$
Поэтому плотность близнецов в ПСВm f(n) в натуральном ряде на основании формулы (1):
$P(f,m)=\prod_{3\leq p \leq p_r}{(1-2/p)}$.
Не надо путать плотность близнецов в ПСВm f(n) в натуральном ряде с плотностью близнецов f(n) последовательности в ПСВm g(n), так как в последнем случае плотность определяется по формуле:
$P(f,m)=\pi(f,m)/\varphi(m).$
Данная плотность в $m/ \varphi(m)$ раз больше.
Теперь рассмотрим асимптотическую плотность близнецов ПСВm f(n) в натуральном ряде.
Зафиксируем значение x $(1<x\leq m)$. Будем неограниченно увеличивать $p_r$ ($p_r$ стремится к бесконечности). При этом $m=2 \cdot 3...p_r$ также стремится к бесконечности. Когда $p^2_{r+1}\geq x$, то все вычеты ПСВm -$p_i<x$ будут простыми числами. Поэтому плотность близнецов ПСВm в натуральном ряде будет совпадать с плотностью простых близнецов в натуральном ряде - $P(f,2,x)\sim C / \ln^2(x)$, что подтверждено в теме данного форума - "Оценка количества некоторых групп чисел среди простых чисел" при длине кортежа $k=2$.

Предвижу вопрос - почему пропуск чисел от 1 до $p_r$ в ПСВm не повлиял на асимптотичесую плотность?
Дело в том, что один конец отрезка $p^2_{r+1}$ растет как квадрат, а другой конец - $p_{r+1}$ растет как линейная функция, поэтому предел отношения длин отрезков $[1,p_r]$ и $[p_{r+1}, p^2_{r+1})$ стремится к 0 при стремлении $p_r$ к бесконечности. Соответственно такое же соотношение между количеством простых чисел на данных отрезках, поэтому количеством простых чисел на отрезке $[1,p_r$] - r можно пренебречь, хотя оно и стремится к бесконечности.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение

Утверждение 2
Рассмотрим асимптотическую плотность последовательности f(n) в последоватнльности g(n). Если для $\pi(f,A,x)\sim C1\int_{A}^{x}{F(t)dt}$ и $\pi(g,B,x)\sim C2\int_{B}^{x}{G(t)dt}$ , то $P(f,max(A,B),x)\sim C1F(x)/C2G(X)$.
Доказательство
Для непрерывных функций F(t) и G(t) на основании теореме о среднем для определенного интеграла выполняется:
$\int_{A}^{x}{F(t)dt} = (x-A)F(t*)$ и $\int_{B}^{x}{G(t)dt} = (x-B)G(t**),$(10)
где $A\leq t*\leq x$ и $B\leq t**\leq x$.
На основании формул (6) и (10):
$\lim \limits_{x \to \infty} {P(f,g,max(A,B),x)}=\frac {\lim \limits_{x \to \infty} {\pi(f,A,x)}} {\lim \limits_{x \to \infty} {\pi(g,B,x)}}=$
$\frac {\lim \limits_{x \to \infty} {C1\int_{A}^{x}{F(t)dt}}} {\lim \limits_{x \to \infty} {C2\int_{B}^{x}{G(t)dt}}}}=$ $\frac {\lim \limits_{x \to \infty} {C1(x-A)F(t*)}} {\lim \limits_{x \to \infty} {C2(x-B)G(t**)}}=$ $\lim \limits_{x \to \infty} {C1F(x)/C2G(x)}$.
Следовательно, $P(f,g,max(A,B),x) \sim C1F(x)/C2G(x).$(11) ч.т.д.

В качестве первого примера рассмотрим определение асимтотической плотности последовательности близнецов f(n) в последовательности простых чисел g(n).
Асимптотическое количество близнецов в натуральном ряде уже приводилось в теме:
$\pi(f,3,x)\sim C2'\int_{3}^{x}{\frac {dt} {ln^2t},$
а асимтотическое количество простых чисел в натуральном ряде определяется формулой:
$\pi(f,2,x)\sim \int_{2}^{x}{\frac {dt} {lnt}.$
Поэтому на основании формулы (11):
$P(f,g,3,x)=C2'/ln(x)$.

В качестве второго примера рассмотрим определение асимтотической плотности последовательности кортежей (2,4) f(n) в последовательности простых чисел g(n).
Асимптотическое количество кортежей (2.4) в натуральном ряде было дано в теме "Оценка количества некоторых групп чисел среди простых чисел" для k=3:
$\pi(f,4,x)\sim C3\int_{4}^{x}{\frac {dt} {ln^3t},$
а асимтотическое количество простых чисел в натуральном ряде дано в предыдущем примере.
Поэтому на основании формулы (11):
$P(f,g,4,x)=C3/ln^2(x)$.
Кортеж (2,4) является не составным, поэтому количество таких кортежей в натуральном ряде записывается в виде, рассматриваемой в утверждении 2.
Асимптотическая оценка для количества составных кортежей в натуральном ряду сложнее и не записывается в виде, рассматриваемом в утверждении 2. Асимтотическая оценка для плотности и количества составных кортежей в натуральном ряде приведена в теме "Оценка количества некоторых групп чисел среди простых чисел".

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения

[vicvolf]

Продолжение

Формулу (1) в случае, если f(n) возрастает и непрерывна, можно представить в виде:
$P(f,A,B)=\frac {[f^{-1}(b)] -[f^{-1}(a)]+1} {B-A}$(1.1).
Формулу (2) в случае, если f(n) возрастает и непрерывна, можно представить в виде:
$P(f,g,A,B)=\frac {[f^{-1}(b)] -[f^{-1}(a)]+1} {\pi(g,A,B)}$(2.1).
Формулу (2) в случае, если f(n), g(n) возрастают и непрерывны, можно представить в виде:
$P(f,g,A,B)=\frac { [f^{-1}(b)] -[f^{-1}(a)]+1 } { [g^{-1}(b)] -[g^{-1}(a)]+1}$(2.2).
Для асимптотической плотности формулам (1.1), (2.1), (2,2) соответствуют формулы, которые добавят (7):
$P(f,A,x) \sim \frac {f^{-1}(x} {x}. (7.1)$
$P(f,g,A,x) \sim \frac {f^{-1}(x)} {\pi(g,A,x)}. (7.2)$
$P(f,g,A,x) \sim \frac {f^{-1}(x)} {g^{-1}(x}}. (7.3)$
Примеры
На основании (7.1) найдем асимптотическую плотность последовательности $f(n)=n^2+1$ в натуральном ряде:
$P(f,F,x) \sim \sqrt{x}/x=1/\sqrt{x}.$
На основании (7.3) найдем асимптотическую плотность $f(n)=k_1n+l_1, (k_1,l_1)=1$ в последовательности $g(n)=k_2n+l_2, (k_2,l_2)=1$, где $k_1>k_2$:
$P(f,g,A,x)=\frac {1/k_1} {1/k_2}=k_2/k_1<1$.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.