уравнение (1+y)^3 - y^3 =a^3 не имеет решения в целых числах

[nnosipov]

venco в сообщении #650682 писал(а):

И вообще, кто-нибудь понял что это за (43)?

Нет, конечно. Вообще, текст довольно бессвязный, а эти дополнения и уточнения только дополнительную путаницу вносят. Хотя, с другой стороны, всё и так ясно --- доказательства здесь нет, и не предвидится.

[gennady]

1. (43) - это решение (28) для $y$.

2. Согласно (2.1), $w$ - это или иррациональное число (одночлен), или иррациональный многочлен, каждый член которого - иррациональное число. Например, $w=\sqrt{a}, \qquad \sqrt{a}+\sqrt[3]{b}$ и т. д.

3. Согласно (27), $(C, H)$ - целые числа:

$C=3(l+1), \qquad H=9(l^2+1)-14l, \qquad l\geq1.$

Другими словами, $(C, H)$ не могут быть произвольными целыми числами.

4. Дополнения 1 и 2 - это ответы на Ваши замечания.

[nnosipov]

gennady в сообщении #650867 писал(а):

или иррациональный многочлен, каждый член которого - иррациональное число. Например, $w=\sqrt{a}, \qquad \sqrt{a}+\sqrt[3]{b}$ и т. д.

Детский сад.

[gennady]

gennady в сообщении #649345 писал(а):

ДОПОЛНЕНИЕ 1

Рассмотрим решение (28). Правая часть (28) является целым числом при следующих условиях:

1) параметр $h$ - целое число, для которого справедливо уравнение (29):

$9l^2-14l-(h^2-9)=0,\qquad l\geq 1,\qquad$ (1.1)

$l$ - целое число,

2) $(c+h)=A^3,\qquad (c-h)=B^3,\qquad$ (1.2)

$(A, B)$ - целые числа,

3) $l=2N^3,\qquad N\geq1.\qquad$ (1.3)

В этом случае, решение (28) для $y$ есть целое число:

$y=2N^3+N\cdot (A+B)\qquad$ (1.4)

Уравнение (1.1) имеет решения:

$9l=7 \pm \sqrt {9h^2-32}\qquad$ (1.5)

Решения (1.5) для $(9l)$ являются целыми числами при условии:

$(3h)^2-d^2=32,\qquad 3h>d,\qquad$ (1.6)

$(h,d)$ - целые числа одной чётности, по определению.

1. $(h,d)$ - чётные числа:

$h=2k,\qquadk\geq1;\qquad d=2n,\qquad n\geq1;\qquad 3k>n \qquad$ (1.7)

С учётом (1.7), запишем (1.6) в виде:

$(3k-n)\cdot (3k+n)=8\qquad$ (1.8)

Для целых чисел $(k,n)$ справедливо равенство:

$3k-n=m,\qquad k\geq1,\qquad n\geq1,\m\geq2.\qquad$ (1.9)

С учётом (1.9), равенство (1.8) есть:

$m\cdot (m+2n)=8.\qquad$ (1.10)

Если $m$ - нечётное число, то равенство (1.10) невыполнимо. Следовательно, $m$ -чётное число:

$m=2i,\qquad i\geq1.\qquad$ (1.11)

С учётом (1.11), равенство (1.10) есть:

$i\cdot (i+n)=2,\qquad n\geq1,\qquad i\geq1.\qquad$ (1.12)

Равенство (1.12) выполнимо только при условии: $i=n=1$. В этом случае, имеем: $d=2,\qquad m=2,\qquad k=1, \qquad h=2$. Согласно (1.5), решение для $l$ равны: $l=(1; 5/9)$. По условию, $l$ - целое число, следовательно, имеем единственное решение $l=1$.

2. $(h,d)$ - нечётные числа:

$h=2k+1,\qquad k\geq1;\qquad d=2n+1,\qquad n\geq1;\qquad 3k+1>n.\qquad$ (1.13)

С учётом (1.13), запишем (1.6) в виде:

$(3k+1-n)\cdot(3k+n+2)=8.\qquad$ (1.14)

Для целых чисел $(k,n)$ справедливо равенство:

$3k+1-n=m,\qquad k\geq1,\qquad n\geq1,\qquad m\geq3.\qquad$ (1.15)

С учётом (1.15), равенство (1.14) есть:

$m\cdot (m+2n+1)=8,\qquad n\geq1,\qquad m\geq3.\qquad$ (1.16)

При $n=1,\qquad m=3$, равенство (1.16) невыполнимо: левая часть равенства больше правой части. Следовательно, равенство (1.16) невыполнимо для всех значений $(n,m)$.
При $n=1,\qquad m=3$, согласно (1.15), имеем: $k=1,\qquad h=3,\qquad (2h)^2-32=49$. В этом случае, решения для $l$ равны: $l=(14/9; 0)$. Другими словами, если целое число $h>2$, то $l$ - или рациональная дробь, или иррациональное число.
Итак, при $l=1$, решение (28) для $y$ есть иррациональное число:

$y=1+\sqrt[3]{2}\cdot (1+\sqrt[3]{2}).$

Для целого числа $l\geq2$, согласно (1.1), $h$ - иррациональное число. Следовательно, согласно (1.2), $(A, B)$ - иррациональные числа, а решение для $y$ есть иррациональное число.
Полученный результат аналогичен тому, который следует из решения (32).

[venco]

У вас проблема с самого начала - $h$ не обязано быть целым, чтобы получить целое $y$.

[nnosipov]

gennady в сообщении #651127 писал(а):

Рассмотрим решение (28). Правая часть (28) является целым числом при следующих условиях:

А вдруг есть ещё какие-то условия, при которых правая часть (28) будет целым числом? У Вас отсутствует доказательство того, что правая часть (28) будет целым числом ТОЛЬКО при выполнении условий 1), 2), 3). Это утверждение совершенно не очевидно и нуждается в доказательстве.

[gennady]

Рассмотрим решение (28):

$y=l+(l/2)^{1/3}\cdot ((C+\sqrt{H})^{1/3}+(C-\sqrt{H})^{1/3})$

$C=3(l+1), \qquad H=9(l^2+1)-14l, \qquad l\geq1$

$l$ - целое число.

При $l=1, \qquad C=6, \qquad H=4$ :

$y=1+\sqrt[3]{2}\cdot(1+\sqrt[3]{2})$.

При $l\geq2$, параметр $H$ не является полным квадратом целого числа (выражения (29) - (32) и Дополнение 1). Следовательно, $\sqrt{H}$ - иррациональное число.
Итак, для целого числа $l\geq1$, $y$ - иррациональное число.

[nnosipov]

gennady в сообщении #651323 писал(а):

Итак, для целого числа $l\geq1$, $y$ - иррациональное число.

Не доказано.

[gennady]

Продолжение темы.

Рассмотрим выражение (28) при условии $l \geq 2$.

1. При условии $l=2n+1, \qquad n \geq 1$ , решение (28) имеет вид:

$y=2n+1+ \sqrt[3]{u}+ \sqrt[3]{v}$

$u=C+(2n+1) \cdot \sqrt{N}, \qquad v=C-(2n+1) \cdot \sqrt{N}$

$C=3(n+1)(2n+1), \qquad N=9n^2+2n+1$

2. При условии $l=2n, \qquad n \geq 1$ , решение (28) имеет вид:

$y=2n+ \sqrt[3]{u}+ \sqrt[3]{v}$

$u=C+n \cdot \sqrt{N}, \qquad v=C-n \cdot \sqrt{N}$

$C=3n(2n+1), \qquad N=36n^2-28n+9$

Для целого числа $n \geq 1$ , натуральные числа $N$ не являются полными квадратами целого числа. Однако такое число можно единственным образом представить в виде:

$N=B^2 \cdot a, \qquad B \geq 1$

$B$ - целое число, $a$ - произведение простых чисел:

$a=a_1 \cdots a_i \cdots a_k, \qquad a_{i+1}>a_{i}, \qquad i=(1,k)$

$a_{i}$ - простое число, $a_{1} \geq 2$.

В этом случае, $\sqrt{N}$ есть иррациональное число, по определению:

$\sqrt{N}=B \cdot \sqrt{a}$

Следовательно, $(v, u)$ это иррациональные алгебраические выражения, а $(\sqrt[3]{v}, \sqrt[3]{u})$ - иррациональные числа, по определению.
Следует отметить, что уравнение $x^p+y^p=z^p, \qquad p \geq 3$ сводится к трансцендентному уравнению, которое не имеет решений в целых числах [1]. И как следствие, правая часть (28) есть иррациональное выражение, по определению.

1. Овчинников Г. И. Доказательство теоремы Ферма.

[nnosipov]

gennady в сообщении #656117 писал(а):

Следовательно, $(v, u)$ это иррациональные алгебраические выражения, а $(\sqrt[3]{v}, \sqrt[3]{u})$ - иррациональные числа, по определению.

Ну и что, что они иррациональны? Их сумма вполне может оказаться целым числом, и никакого противоречия не возникает.

В общем, эта сказка про белого бычка порядком поднадоела. Автор демонстрирует откровенное невежество, не понимая совершенно банальной вещи: иррациональные (как алгебраические, так и трансцендентные) выражения вполне могут принимать целочисленные значения. Моё мнение: в "Пургаторий", ибо ничего поучительного и полезного для возможных читателей в этой теме нет.

gennady в сообщении #656117 писал(а):

Следует отметить, что уравнение $x^p+y^p=z^p, \qquad p \geq 3$ сводится к трансцендентному уравнению, которое не имеет решений в целых числах [1].

Туда же и по тем же причинам. ([1] --- то же бесконечное пережёвывание известных формул без какого-либо намёка на прогресс.) Это на тот случай, если автору захочется что-нибудь ещё из этого опуса опубликовать здесь.

[gennady]

Рассмотрим выражение:

$t= \sqrt[3]{u}+ \sqrt[3]{v}$

$u=c+d \sqrt{a}, \qquad v=c-d \sqrt{a}, \qquad u>v>0$

$(c, d)$ - целые числа, $a$ - простое число.

Пусть $\sqrt[3]{u}=U, \sqrt[3]{v}=V$, тогда $t=U+V$.

Если $(V, U)$ - целые числа, то $t$ также целое число.
В этом случае, имеем соотношения:

$2c=U^3+V^3 \qquad$ (1)

$2d \sqrt{a}=U^3-V^3 \qquad$ (2)

Для целых чисел $(V, U)$, равенство (2) невыполнимо.
Следовательно, имеют место выражения:

$\sqrt[3]{u}=U+w_1, \qquad \sqrt[3]{v}=V+w_2$

$(w_1, w_2)$ - иррациональные величины.
В этом случае, $t$ - иррациональное алгебраическое выражение:

$t=U+V+w_{1}+w_{2}$

Частный случай был рассмотрен в Дополнении 2.

[Deggial]

gennady, предупреждение за игнорирование вопросов ЗУ в дискуссионном разделе, за зафлуживание форума плохо связными и ложными высказываниями.
Тема закрыта.