уравнение (1+y)^3 - y^3 =a^3 не имеет решения в целых числах

[gennady]

Уравнение $(1+y)^3-y^3=a^3.$

Рассмотрим уравнение

$(1+y)^3-y^3=a^3\qquad (1)$

Покажем, что уравнение (1) не имеет решения в целых числах. Пусть $(a,y)$ - целые положительные числа. Тогда, для любого целого числа $y, a$ - нечётное число. При условии $ y=a,$ из (1) имеем соотношение:

$(\sqrt[3]{2}-1)\cdot{a}=1\qquad (2)$

Для целого числа $a$ равенство (2) невыполнимо. Итак, для уравнения (1) справедливы условия:

$y>a\geq3,\qquad(3)$

$a=2m+1,\qquad{m}\geq1\qquad(4)$

Раскроем скобки и запишем (1) в виде:

$3y^{2}+3y-(a^{3}-1)=0\qquad(5)$

Квадратное уравнение (5) имеет одно положительное решение:

$6y=\sqrt{12a^{3}-3}-3,\qquad{a}\geq3\qquad(6)$

Решение (6) есть целое число, если выполнимы условия:

$12a^3-3=9b^2\qquad(7)$

$b=2k+1,\qquad{k}\geq1\qquad(8)$

С учётом (7) и (8), решение (6) есть:

$y=k,\qquad{k}\geq1\qquad(9)$

С учётом (4) и (8), равенство (7) примет вид:

$4(2m+1)^3=3(2k+1)^2+1\qquad(10)$

Введём обозначение $n=2m$ и запишем (10) в виде:

$n^3+3(n^2-k^2)+3(n-k)=0\qquad(11)$

При условии $n\geq{k},$ равенство (11) невыполнимо: слева - сумма положительных чисел.
С учётом (4) и (8), неравенство $k>n$ имеет вид:

$b>2a-1,\qquad{a}\geq3\qquad(12)$

Преобразуем (11) к виду:

$3(k-n)(k+n+1)=n^3,\qquad k>n\qquad (13)$

Для целых чисел $(k,n)$, неравенство $k>n$ можно представить в виде:

$k=n+l,\qquad l\geq1 \qquad (14)$

С учётом (14), уравнение (13) есть:

$n^3-6l \cdot{n}-3l\cdot{(l+1)}=0 \qquad (15)$

Уравнение (15) - это кубическое уравнение приведенного вида [1]:

$n^3+3p\cdot{n}+2q=0,\qquad (16)$

$p=-2l,\qquad {q}=-(3/2)\cdot{l}\cdot{(l+1)}.\qquad (17)$

Число действительных решений уравнения(16) зависит от знака дискриминанта $D$ :

$D=q^2+p^3.$

С учётом (17), параметр $D$ равен:

$D=(l/2)^2\cdot{(9{(l+1)}^2-32l)}\qquad (18)$

$D>0$ , для всех $l\geq1.$

Так как $D>0$, то уравнение (16) имеет одно действительное решение и два мнимых (мнимые решения не рассматриваем). Для решения уравнения (16) воспользуемся вспомогательными величинами $(r,\varphi)$, [1].
Величина $r$ определяется из выражения:

$r=\pm \sqrt{\left |p \right |} \qquad (19)$

Знак $r$ должен совпадать со знаком $q$.
Параметр $\varphi$ определяется из соотношения:

$\ch{\varphi}=\frac{q}{r^3}\qquad (20)$

По условию $q<0$, следовательно, параметр $r$ равен:

$r=-\sqrt{2l}\qquad (21)$

Итак, при условии $p<0, D>0$, уравнение (16) имеет одно действительное решение:

$n=2\sqrt{2l}\cdot \ch\frac{\varphi}{3} \qquad (22)$

С учётом (17) и (21), выражение (20) равно:

$\ch\varphi=\frac{3\sqrt{2l}\cdot (l+1)}{8l}\qquad (23)$

Согласно (23), параметр $\varphi$ равен:

$\varphi=\ln(t+\sqrt{t^2-1}),\qquad (24)$


$t=\frac{3\sqrt{2l}\cdot (l+1)}{8l},\qquad l\geq1,\qquad t>1.\qquad (25)$

С учётом (14), (22) и (24), решение (9) равно:

$y=l+\sqrt{2l}\cdot((t+\sqrt{t^2-1})^{1/3}+(t-\sqrt{t^2-1})^{1/3}) \qquad (26)$

Покажем, что правая часть (26) есть иррациональное число для всех значений целого числа $l\geq1.$
Введем обозначения:

$t \pm \sqrt{t^2-1}= \frac{\sqrt{2l}\cdot(c \pm h)}{8l},\qquad (27)$

$c=3(l+1),\qquad h=\sqrt{9(l^2+1)-14l},\qquad l\geq1,\qquad h>0.$

С учётом (27), выражение (26) равно:

$y=l+(l/2)^{1/3}\cdot((c+h)^{1/3}+(c-h)^{1/3})\qquad (28)$

В (28), $c$ - целое число, $h$ - или целое число, или иррациональная величина.
Рассмотрим уравнение:

$9l^{2}-14l-(h^{2}-9)=0\qquad (29)$

Уравнение (29) имеет решения:

$9l=7 \pm \sqrt{9h^2-32}\qquad (30)$

При условии $9h^2=32$, имеем решение $l=\frac{7}{9}$. Следовательно, для решения (30) справедливо неравенство $9h^2>32$.
Рассмотрим равенство:

$(3h)^2-d^2=32 \qquad (31)$

В (31), $(h,d)$ - целые числа, по определению. Решение уравнения (31), в целых числах, представим в виде [2]:

$d=\frac{U-V}{2},\qquad 3h=\frac{U+V}{2}.\qquad (32)$

$(V, U)$ - целочисленные множители, на которые можно разложить чётное число $32$, при условии $U>V\geq2$.
$(V, U)$ - чётные числа:

$V_{1}=2, U_{1}=16;\qquad V_{2}=4, U_{2}=8$.

Для множителей $(V_{1}, U_{1})$ имеем решения:

$d=7, h=3, l=(14/9;0).$

Для множителей $(V_{2}, U_{2})$ имеем решения:

$d=2, h=2, l=(1;5/9).$

При $ l=1$, имеем$c=6, h=2$. Однако, согласно (28), решение для $y$ есть иррациональное число:

$y=1+\sqrt[3]{2}\cdot(1+\sqrt[3]{2}).$

Для $l\geq2$,переменная $h$ есть иррациональная величина. Итак, $y$ есть иррациональное число, для всех значений целого числа $l\geq1.$
Таким образом, для нечётных чисел $(a,b)$, равенство (7) невыполнимо. Следовательно, уравнение (1) не имеет решения в целых числах $(a,y)$. Так как, по условию, $a$ - нечётное число, то $y$ - иррациональная величина.
Итак, для данного частного случая, Великая теорема Ферма верна.

1. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике, гл. 2.4., М., Наука 1986.
2. Овчинников Г. И. Решение уравнения Пифагора в целых числах.

[nnosipov]

gennady в сообщении #648064 писал(а):

Итак, $y$ есть иррациональное число, для всех значений целого числа $l\geq1.$

На каком основании сделан такой вывод? Видимо, Вы считаете. что если $h$ иррационально, то поэтому и $y$ иррационально. Это утверждение не очевидно. Приведите доказательство этого утверждения.

[gennady]

ДОПОЛНЕНИЕ 1

Рассмотрим решение (43). Правая часть (43) является целым числом при следующих условиях:

1) параметр $h$ - целое число, для которого справедливо уравнение (44):

$9l^2-14l-(h^2-9)=0,\qquad l\geq 1,\qquad$ (1.1)

$l$ - целое число,

2) $(c+h)=A^3,\qquad (c-h)=B^3,\qquad$ (1.2)

$(A, B)$ - целые числа,

3) $l=2N^3,\qquad N\geq1.\qquad$ (1.3)

В этом случае, решение (43) для $y$ есть целое число:

$y=2N^3+N\cdot (A+B)\qquad$ (1.4)

Уравнение (1.1) имеет решения:

$9l=7 \pm \sqrt {9h^2-32}\qquad$ (1.5)

Решения (1.5) для $(9l)$ являются целыми числами при условии:

$(3h)^2-d^2=32,\qquad 3h>d,\qquad$ (1.6)

$(h,d)$ - целые числа одной чётности, по определению.

1. $(h,d)$ - чётные числа:

$h=2k,\qquadk\geq1;\qquad d=2n,\qquad n\geq1;\qquad 3k>n \qquad$ (1.7)

С учётом (1.7), запишем (1.6) в виде:

$(3k-n)\cdot (3k+n)=8\qquad$ (1.8)

Для целых чисел $(k,n)$ справедливо равенство:

$3k-n=m,\qquad k\geq1,\qquad n\geq1,\m\geq2.\qquad$ (1.9)

С учётом (1.9), равенство (1.8) есть:

$m\cdot (m+2n)=8.\qquad$ (1.10)

Если $m$ - нечётное число, то равенство (1.10) невыполнимо. Следовательно, $m$ -чётное число:

$m=2i,\qquad i\geq1.\qquad$ (1.11)

С учётом (1.11), равенство (1.10) есть:

$i\cdot (i+n)=2,\qquad n\geq1,\qquad i\geq1.\qquad$ (1.12)

Равенство (1.12) выполнимо только при условии: $i=n=1$. В этом случае, имеем: $d=2,\qquad m=2,\qquad k=1, \qquad h=2$. Согласно (1.5), решение для $l$ равны: $l=(1; 5/9)$. По условию, $l$ - целое число, следовательно, имеем единственное решение $l=1$.

2. $(h,d)$ - нечётные числа:

$h=2k+1,\qquad k\geq1;\qquad d=2n+1,\qquad n\geq1;\qquad 3k+1>n.\qquad$ (1.13)

С учётом (1.13), запишем (1.6) в виде:

$(3k+1-n)\cdot(3k+n+2)=8.\qquad$ (1.14)

Для целых чисел $(k,n)$ справедливо равенство:

$3k+1-n=m,\qquad k\geq1,\qquad n\geq1,\qquad m\geq3.\qquad$ (1.15)

С учётом (1.15), равенство (1.14) есть:

$m\cdot (m+2n+1)=8,\qquad n\geq1,\qquad m\geq3.\qquad$ (1.16)

При $n=1,\qquad m=3$, равенство (1.16) невыполнимо: левая часть равенства больше правой части. Следовательно, равенство (1.16) невыполнимо для всех значений $(n,m)$.
При $n=1,\qquad m=3$, согласно (1.15), имеем: $k=1,\qquad h=3,\qquad (2h)^2-32=49$. В этом случае, решения для $l$ равны: $l=(14/9; 0)$. Другими словами, если целое число $h>2$, то $l$ - или рациональная дробь, или иррациональное число.
Итак, при $l=1$, решение (43) для $y$ есть иррациональное число:

$y=1+\sqrt[3]{2}\cdot (1+\sqrt[3]{2}).$

Для целого числа $l\geq2$, согласно (1.1), $h$ - иррациональное число. Следовательно, согласно (1.2), $(A, B)$ - иррациональные числа, а решение для $y$ есть иррациональное число.
Полученный результат аналогичен тому, который следует из решения (47).

[nnosipov]

gennady в сообщении #649345 писал(а):

Следовательно, согласно (1.2), $(A, B)$ - иррациональные числа, а решение для $y$ есть иррациональное число.

Опять та же ерунда. Сумма $A+B$ двух иррациональных чисел $A$ и $B$ вполне может оказаться целым числом, а значит, и $y$ может быть целым числом. Никакого противоречия нет.

[gennady]

ДОПОЛНЕНИЕ 2

Пусть $(A, B)$ - иррациональные выражения вида:

$A=u+w, \qquad B=v-w, \qquad u>v,\qquad$ (2.1)

$(u, v)$ - целые числа, $w$ - иррациональное число.

В этом случае, имеем соотношение: $A+B=u+v$, $(u+v)$ - целое число.
Согласно (1.2), имеем выражения:

$2c=A^3+B^3, \qquad$ $2h=A^3-B^3.\qquad$ (2.2)

С учётом (2.1), равенства (2.2) принимают вид:

$2c=(u^3+v^3)+3(u+v)(u-v+w)\cdot w \qquad$ (2.3)

$2h=(u^3-v^3)+3(u^2+v^2+(u-v)\cdot {w}+2w^2)\cdot w\qquad$ (2.4)

Равенство (2.3) невыполнимо: левая часть равенства - целое число, а правая часть - иррациональное выражение. Согласно (1.1), параметр $2h$ равен:

$2h=2 \sqrt{9(l^2+1)-14l}, \qquad l\geq1\qquad$ (2.5)

Для $l\geq2,\qquad h$ - иррациональное число. При этом, для $l\geq2$, правая часть (2.5) не может быть иррациональным выражением вида:

$2h=b+g,\qquad$ (2.6)

$b$ - целое число, $g$ - иррациональное число.

Следовательно, равенство (2.4) также невыполнимо. Таким образом, иррациональные числа $(A, B)$ не могут быть представлены в виде (2.1). Итак, если $(A, B)$ - иррациональные величины, то и $(A+B)$ - иррациональное выражение.

[venco]

gennady в сообщении #649655 писал(а):

$2c=(u^3+v^3)+3(u+v)(u-v+w)\cdot w \qquad$ (2.3)

Равенство (2.3) невыполнимо: левая часть равенства - целое число, а правая часть - иррациональное выражение.

Не знаю, что вы имеете в виду под термином "иррациональное выражение", но это равенство легко выполнимо, например:
$u=2, v=1, w=\frac {\sqrt 5 -1}2, c=9$

[gennady]

Ваши условия:

$u=2,\qquad v=1,\qquad, w=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Подставим эти значения в (2.1):

$A= \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2},\qquad B= \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}$

Согласно (2.1) и Вашим условиям, имеем:

$u=v=\frac{3}{2}, \qquad w=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Иррациональное выражение $=$ рациональное число $+$ иррациональное число.
При условии $u=v$, выражения (2.3) и (2.4) имеют вид:

$c=u^3+3u\cdot w^2, \qquad h=3(u^2+w^2)\cdot w.$

Согласно Вашим условиям, имеем: $c=9, \qquad h=(21/5)\cdot \sqrt{5}.$

Согласно (27), $c=3(l+1)$, следовательно, $l=2$. При $l=2$, получим: $h=\sqrt{17}$.

P.S. Вы постоянно упускаете из виду выражения исходной задачи.
Благодарю Вас за замечания, они во многом помогли мне.

[nnosipov]

gennady в сообщении #650077 писал(а):

Согласно (2.1) и Вашим условиям, имеем:

$u=v=\frac{3}{2}, \qquad w=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

Это что за фокусы? Вам же указали конкретные значения $u$, $v$, $w$ и $c$, при которых равенство (2.3) выполняется. С какой стати Вы их меняете?

[gennady]

Отвечаю. Я привёл Ваши условия в соответствии с формулами (2.1). В (2.1) $w$ - иррациональное число (по определению), у Вас $w$ - двучлен, из рационального и рационального числа.
Хорошо! Согласно Вашим условиям $c=9$. Так как $c=3(l+1)$, то $l=2$. При $l=2$, параметр $h=\sqrt{17}$, выражение (2.5). В этом случае, согласно (1.2), имеем:

$A^3=9+\sqrt{17}, \qquad B^3=9-\sqrt{17}.$

NB! $(A^3, B^3)$, как иррациональные выражения, зависят от радикала степени $\frac{1}{2}$.
$(A, B)$, как иррациональные выражения, уже зависят от радикала кратного степени $\frac{1}{3}$:

$A= (9+\sqrt{17})^{1/3}, \qquad B=(9-\sqrt{17})^{1/3}$.

В Вашем примере, $(A, B)$ зависят от радикала степени $\frac{1}{2}$, что невозможно, по определению.

P.S. Выражаю Вам свою благодарность за дискуссию.

[venco]

gennady в сообщении #650206 писал(а):

Отвечаю. Я привёл Ваши условия в соответствии с формулами (2.1). В (2.1) $w$ - иррациональное число (по определению), у Вас $w$ - двучлен, из рационального и рационального числа.

Вы хотите сказать, что $\frac{\sqrt5-1}2$ - рациональное число?

-- Пн ноя 26, 2012 14:40:04 --

gennady в сообщении #650206 писал(а):

В Вашем примере, $(A, B)$ зависят от радикала степени $\frac{1}{2}$, что невозможно, по определению.

Эм... по какому определению?

[gennady]

1. По Вашему условию $w$ - двучлен:

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$

2. Имеем равенство:

$(C+\sqrt{H})^{1/3}=T+\sqrt{R}$

$(C, H)$ - целые числа. $(H, R)$ - не являются полными квадратами целых чисел.

Докажите, что $(T, R)$ - или целые, или рациональные числа.

[nnosipov]

gennady в сообщении #650484 писал(а):

2. Имеем равенство:

$(C+\sqrt{H})^{1/3}=T+\sqrt{R}$

$(C, H)$ - целые числа.

Докажите, что $(T, R)$ - или целые, или рациональные числа.

Это утверждение неверно. Возьмём $C=1$, $H=2$. Если есть равенство вида $(1+\sqrt{2})^{1/3}=T+\sqrt{R}$, то числа $T$ и $R$ не могут быть оба рациональными.

[venco]

gennady в сообщении #650484 писал(а):

1. По Вашему условию $w$ - двучлен:

$\frac{\sqrt{5}-1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$

Ещё раз: $w$ - рациональное число или иррациональное?

gennady в сообщении #650484 писал(а):

2. Имеем равенство:

$(C+\sqrt{H})^{1/3}=T+\sqrt{R}$

$(C, H)$ - целые числа. $(H, R)$ - не являются полными квадратами целых чисел.

Докажите, что $(T, R)$ - или целые, или рациональные числа.

$\sqrt[3]{7+\sqrt{50}}=1+\sqrt2$

[gennady]

УТОЧНЕНИЯ

1. Согласно (2.1), $w$ - одночлен и иррациональное число.

2. Согласно условиям исходной задачи: $C\geq9,\qquad H\geq17$.

[venco]

gennady в сообщении #650678 писал(а):

1. Согласно (2.1), $w$ - одночлен и иррациональное число.

Дайте определение одночлена. И уточните, где это используется.

gennady в сообщении #650678 писал(а):

2. Согласно условиям исходной задачи: $C\geq9,\qquad H\geq17$.

Ну умножьте всё на константу, делов-то.

-- Вт ноя 27, 2012 14:31:08 --

gennady в сообщении #649345 писал(а):

ДОПОЛНЕНИЕ 1

Рассмотрим решение (43). Правая часть (43) является целым числом при следующих условиях:

И вообще, кто-нибудь понял что это за (43)?