Дельта-функция и...?

[druggist]

Есть такая замечательная вещь - дельта-функция, интеграл от которой равен еденице. Но должен также существовать и в некотором смысле её "антипод", а именно, функция практически совпадающая с осью х, интеграл от которой тоже равен еденице. Словесно их объединяет поговорка "знать все ни о чем и знать ничего обо всем". Интересно, существует ли специальный математический термин, аналогичный(в смысле конечности интеграла) дельта-функции для ее, так сказать, противоположности?

[Munin]

Я так понимаю, "лежащая" на оси $x$? То есть $f(x)\approx 0$ на $\forall x\in\mathbb{R},$ но при этом $\int\limits_{\mathbb{R}}f(x)dx=1$?
(В смысле $\forall\varepsilon>0\,\,\forall x\in\mathbb{R}\,\,\, |f(x)|<\varepsilon.$)
Наверное, некоторые пространства функций можно пополнить такими элементами...

[druggist]

Munin в сообщении #650741 писал(а):

Я так понимаю, "лежащая" на оси ? То есть на но при этом ?
(В смысле )

Лучше не скажешь!:)... Давайте её сразу как-нибудь обзовем... застолбим, так сказать, приоритет:)

...ну так, для разминки... "плинтус-функция"... слабо?

[Munin]

:-) Вообще интересно. Это функция, выпадающая из классов убывающих на бесконечности с какой-то скоростью, но входящая в классы имеющих конечный интеграл. У меня всё больше ощущения, что где-то это должно быть описано, хотя бы в упражнениях.

А вот только польза от неё в народном хозяйстве есть?

[_Ivana]

Первообразная от неё такая мееедленно возрастающая от 0 до 1 на всей действительной оси со значением 0.5 в нуле. Некий аналог ступеньки и дельта функции - максимально плавное нарастание.

[druggist]

_Ivana в сообщении #650768 писал(а):

Первообразная от неё такая мееедленно возрастающая от 0 до 1 на всей

Да, первообразная тоже симпатичная вещь, вроде-бы параллельная оси х, а вроде бы и не параллельная... ну, ступеньку я могу легко представить, а такую функцию с трудом...

[venco]

Самое главное - нафига? От ответа на этот вопрос зависит, как мы её определим. Я могу сходу предложить несколько вариантов. У дельта-функции, собственно, те же самые варианты, только наоборот, но в главном свойстве, ради которого дельта-функцию придумали, они сходятся. Так что, когда придумаем, зачем плинтус нужен, тогда можно будет и функцию описать.

[EtCetera]

Кстати, у дельта-функции есть обратная? Если да, то она должна чем-то напоминать рассматриваемую гипотетическую функцию.

[Dan B-Yallay]

$f(x)=\dfrac 1 {1_G}$ ?


где $1_G$ -Гросс единица.

[Aritaborian]

Простите, но эта ваша гросс-единица не является общепринятым математическим понятием, насколько мне известно.

[Dan B-Yallay]

Aritaborian в сообщении #650809 писал(а):

Простите, но эта ваша гросс-единица не является общепринятым математическим понятием, насколько мне известно.

Эта гросс единица не моя - всего лишь "переобозначение" нестандартного элемента из нестандартного анализа.

[Aritaborian]

Во-первых, зачем переобозначать определения?
Во-вторых, коль скоро дельта-функция является объектом изучения матанализа как такового, зачем приплетать сюда нестандартный анализ? Думается, ТС не это имел в виду.

[Dan B-Yallay]

Aritaborian в сообщении #650812 писал(а):

Во-первых, зачем переобозначать определения?
Во-вторых, коль скоро дельта-функция является объектом изучения матанализа как такового, зачем приплетать сюда нестандартный анализ? Думается, ТС не это имел в виду.

Во первых, переобозначал не я, а один товарищ, о котором (о товарище и о переобозначении) на данном форуме многие в курсе. Свой вопрос по переобозначению определений Вы можете адресовать непосредственно самому переобозначальщику. Если Вы ни разу не слышали термин "гроссуан", я ничего не могу с этим поделать, разве что отослать Вас сюда - читать до просветления. Заметьте, что в изначальном посте я использовал кавычки, что означает вольную трактовку слова переобозначить, так как сам господин Сергеев, возможно, имеет другое мнение.

Во вторых, я продолжаю идею Munin-a, в которой нестандартность видна явно:

Munin в сообщении #650741 писал(а):

.... $\displaystyle\int_\mathbb R f(x)dx=1$ (В смысле $\forall \varepsilon >0 \ \forall x \in \mathbb R \ |f(x)|<\varepsilon $

В-третьих, Вам может многое думаться о том, что имел в виду ТС, но не надо навязывать посторонним это свое думанье как единственно верное. Мне думается, что ТС ничего против нестандартного анализа не имеет.

[Munin]

Dan B-Yallay в сообщении #650818 писал(а):

Во вторых, я продолжаю идею Munin-a, в которой нестандартность видна явно

Этак и обычную дельта-функцию можно сразу приписать к нестандартным. А она всего лишь обобщённая (то есть не функция вообще, но член некоторого пространства, строящегося как пространство функций с пополнением предельными точками).

[VIP]

venco в сообщении #650799 писал(а):

Самое главное - нафига? От ответа на этот вопрос зависит, как мы её определим. Я могу сходу предложить несколько вариантов. У дельта-функции, собственно, те же самые варианты, только наоборот, но в главном свойстве, ради которого дельта-функцию придумали, они сходятся. Так что, когда придумаем, зачем плинтус нужен, тогда можно будет и функцию описать.

Вообще-то такая функция есть в теории вероятностей. Она описывает равномерное распределение p(x)=0 при P(x)=1 если пространство событий вся числовая ось. Не знаю есть ли у нее название.