NST без парадокса Рассела

[yoba]

Откажемся от обозначения $\neg(x\in y)$ через $x\notin y$. Будем рассматривать $\notin$ как отдельный символ. Уберем символ отрицания из теории. Таким образом, не выводимо $x\in y \lor x\notin y$.

Это мне напоминает интуиционистский подход с отвержение закона исключенного третьего.

[Xaositect]

В принципе, рассмотреть такое можно.

Но надо же ввести какие-то аксиомы для символа $\notin$

[yoba]

Я кажись придумал. Не нужно даже вводить символ $\notin$. Просто обозначим $x=y \lor x\in y$ через $y\notin x$.

(Оффтоп)

Могу объяснить почему именно так и каким образом я до этого додумался, если надо.

[Xaositect]

Это как-то слишком слабо получается. Вы не можете даже для подмножества конечного множества сказать, какие элементы ему не принадлежат.

[yoba]

Наверное потому что нужен аналог закона исключенного третьего: $x= y \lor x\in y \lor y\in x$.

Тогда я могу доказать, например, что, если $M=\{1,2,3,4,5\}$, $X=\{2,5\}$, то $3\notin X$.
Значит для любого $z$ верно, что $z\in X \leftrightarrow z \in M \land (z =2 \lor z=5)$. Поэтому $3\in X \leftrightarrow 3 =2 \lor 3=5$.

Поэтому из того, что $X= 3 \lor X\in 3 \lor 3\in X$ следует $X= 3 \lor X\in 3 \lor (3 =2 \lor 3=5)$. Откуда следует, что $X= 3 \lor X\in 3$.

[Xaositect]

Какая-то странная теория множеств. И какая из трех альтернатив верна при $x=1$, $y=\{2\}$?

[yoba]

Xaositect в сообщении #649952 писал(а):

И какая из трех альтернатив верна при $x=1$, $y=\{2\}$?

Похоже я облажался.

Ладно, тогда такие аксиомы:
$\forall x \forall y (\forall b(b\in x\leftrightarrow b\in y) \to x=y)$
$\forall x \forall y (\exists b(b\in x\land b\notin y) \to x\neq y)$
$\exists y \forall b(b\in x\leftrightarrow P(b))$
$\exists y \forall b(b\notin x\leftrightarrow P(b))$

[epros]

yoba в сообщении #650306 писал(а):

Ладно, тогда такие аксиомы:
$\forall x \forall y (\forall b(b\in x\leftrightarrow b\in y) \to x=y)$
$\forall x \forall y (\exists b(b\in x\land b\notin y) \to x\neq y)$
$\exists y \forall b(b\in x\leftrightarrow P(b))$
$\exists y \forall b(b\notin x\leftrightarrow P(b))$

Во-первых, что такое $\ne$? У Вас же нет символа отрицания.
Во-вторых, последняя аксиома смотрится как-то странно.

yoba в сообщении #649862 писал(а):

Откажемся от обозначения $\neg(x\in y)$ через $x\notin y$. Будем рассматривать $\notin$ как отдельный символ. Уберем символ отрицания из теории. Таким образом, не выводимо $x\in y \lor x\notin y$.

Это мне напоминает интуиционистский подход с отвержение закона исключенного третьего.

Сама идея переделать логику под теорию множеств достаточно забавна, может из неё что-то и получится. Но с интуиционизмом здесь мало общего, ибо интуиционизм вовсе не отказывается от отрицания. Отрицание $A$ всегда можно интерпретировать как синоним $A \to \perp$, т.е. как выводимость из $A$ абсурда.

Так что если мы примем за абсурд, например, такую штуку: $x \in y \wedge x \notin y$, то отрицание $A$ всегда можно записать как $ A \to (x \in y \wedge x \notin y)$.

[Xaositect]

yoba

С помощью этого Вы все равно не можете сказать, какие элементы не принадлежат множеству. Например, теперь у нас есть множества $A$ и $B$ такие, что $x\in A\leftrightarrow x=1$ и $x\notin B\leftrightarrow x\neq 1$, но пока нет никаких средств для доказательства того, что они равны, потому что может быть неверно $1\in B$.

[yoba]

epros в сообщении #650347 писал(а):

Во-первых, что такое $\ne$? У Вас же нет символа отрицания.

Да, его похоже необходимо как-то добавить.

epros в сообщении #650347 писал(а):

Во-вторых, последняя аксиома смотрится как-то странно.

Может она и не нужна?

epros в сообщении #650347 писал(а):

Отрицание $A$ всегда можно интерпретировать как синоним $A \to \perp$, т.е. как выводимость из $A$ абсурда.

Круто. Я до этого не додумался. Возьмем за абсурд $\varnothing \in \varnothing$. Тогда обозначим $x\in y \to \perp$ через $x\notin y$.

[Someone]

А что такое $\varnothing$?

[yoba]

Someone
А, ну да, его же без $\notin$ не определишь... Хорошо, тогда $\perp$ - это $\forall x (x\in x)$.

[Someone]

А почему это абсурд?

[yoba]

Someone
В каком смысле почему?
Потому что, например, пустому множеству ничего не принадлежит.

[Someone]

А откуда у нас взялось пустое множество, если мы даже не можем сформулировать его определение, а не только доказать существование?