Во-первых, что такое

? У Вас же нет символа отрицания.
Во-вторых, последняя аксиома смотрится как-то странно.
Откажемся от обозначения

через

. Будем рассматривать

как отдельный символ. Уберем символ отрицания из теории. Таким образом, не выводимо

.
Это мне напоминает интуиционистский подход с отвержение закона исключенного третьего.
Сама идея переделать логику под теорию множеств достаточно забавна, может из неё что-то и получится. Но с интуиционизмом здесь мало общего, ибо интуиционизм вовсе не отказывается от отрицания. Отрицание

всегда можно интерпретировать как синоним

, т.е. как выводимость из

абсурда.
Так что если мы примем за абсурд, например, такую штуку:

, то отрицание

всегда можно записать как

.