ТВ: среднеквадратическая ошибка

[Alenka_kiss]

Надоумьте как решить задачу. А то у меня их десять. И уже голова кругом.
Систематическая ошибка высотомера отсутствует, а случайные ошибки распределены по нормальному закону. Какую среднеквадратическую ошибку должен иметь высотомер, чтобы с вероятностью 0,9 ошибка измерения высоты по модулю была меньше 100 м. Ответ округлить до целых. [/b]

[faruk]

P(-100<X<100) < 0.9

Ф(z) = 0.9

http://eswf.uni-koeln.de/glossar/surfstat/normal.htm
z = 1.645

z*sigma < 100
sigma < 100/1.645
sigma < 60.79
sigma = 60

[Alenka_kiss]

Большое спасибо за помощь!

[Someone]

faruk писал(а):

P(-100<X<100) < 0.9

Ф(z) = 0.9

http://eswf.uni-koeln.de/glossar/surfstat/normal.htm
z = 1.645

z*sigma < 100
sigma < 100/1.645
sigma < 60.79
sigma = 60

Очень кратко, непонятно и с опечатками.

Пусть случайная величина $X$ (ошибка измерения высоты) имеет нормальное распределение с математическим ожиданием $a$ и средним квадратичным отклонением $\sigma$. Тогда функцию распределения $X$ можно записать в виде $F_X(x)=P(X<x)=\frac{1}{2}+\Phi(\frac{x-a}{\sigma})$, где $\Phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_0^xe^{-\frac{t^2}{2}}dt$ - функция Лапласа.

Имеют место формулы $P(\alpha<X<\beta)=F_X(\beta)-F_X(\alpha)=\Phi(\frac{\beta-a}{\sigma})-\Phi(\frac{\alpha-a}{\sigma})$ и $P(|X-a|<\delta)=2\Phi(\frac{\delta}{\sigma})$.

В данном случае заданы $a=MX=0$ (систематическая ошибка отсутствует) и $P(|X|<100)\geqslant 0,9$, поэтому получаем условие $2\Phi(\frac{100}{\sigma})\geqslant 0,9$, откуда $\Phi(\frac{100}{\sigma})\geqslant 0,45$. Из таблиц функции Лапласа (или с помощью программы, умеющей вычислять функцию, обратную функции Лапласа) находим $\frac{100}{\sigma}\geqslant 1,645$, откуда $\sigma\leqslant\frac{100}{1,645}\approx 60,79$, так что можно взять $\sigma=60$.

[Alenka_kiss]

Ребята! Большое спасибо вашему форуму! Я прямо чувствую себя уже великим математиком. Все остальные задачи решила сама

[faruk]

Someone писал(а):

Очень кратко, непонятно и с опечатками.

Приношу извинения.

Опечатка: P(-100<X<100) < 0.9
Правильно: P(-100<X<100) ≥ 0.9


___________________