Вывести формулу понижения для интеграла

[T_Anton]

Добрый день, all!
Помогите, пожалуйста, с решением такой вот задачки №2065 из Демидовича. Три дня уже мучаюсь. Где-то меня клинит.

Вывести формулу понижения для интеграла:

I_n=$$\int \left(\frac{\sin(\frac{x-a}{2})}{\sin(\frac{x+a}{2})}\right)^n dx$$.

Если нужен ответ, то могу его привести.
Спасибо!

[Brukvalub]

Обозначьте $y = \frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}$ и рассмотрите разность $I_n - I_{n - 2} = \int {y^{n - 2} (y^2 - 1)dx = } \int {y^{n - 2} \frac{{\sin ^2 \frac{{x - a}}{2} - \sin ^2 \frac{{x + a}}{2}}}{{\sin ^2 \frac{{x + a}}{2}}}dx} $
С другой стороны, $dy = \frac{{\sin a\;dx}}{{2\sin ^2 \frac{{x + a}}{2}}}$
, поэтому $I_n - I_{n - 2} = - 2\int {y^{n - 2} \sin xdy = } 2\int {y^{n - 2} (\sin a - (\sin a + \sin x))dy = } 2\sin a\int {y^{n - 2} dy - 2\int {y^{n - 2} (\sin a + \sin x)dy} } $ Далее находим:
$I_n - I_{n - 2} = \frac{{2\sin a}}{{n - 1}}y^{n - 1} - 2\int {y^{n - 2} \frac{{(\sin a + \sin x)\sin a}}{{2\sin ^2 \frac{{x + a}}{2}}}dx} =\frac{{2\sin a}}{{n - 1}}y^{n - 1} - 2\int {y^{n - 2} dx} - 2\int {y^{n - 2} (\frac{{(\sin a + \sin x)\sin a}}{{2\sin ^2 \frac{{x + a}}{2}}} - 1)dx} $

Теперь $I_n - I_{n - 2} = \frac{{2\sin a}}{{n - 1}}y^{n - 1} - 2I_{n - 2} + 2I_{n - 1} \cos a\quad (n > 2)$.
В ходе преобразований я опустил некоторые детали- восстановите их самостоятельно.

[Юный Математик]

Пожалуста поделитесь решением номера 2333 из той же книги

[Brukvalub]

Сразу следует из Критерия Коши.

[Юный Математик]

Brukvalub писал(а):

Сразу следует из Критерия Коши.

Вот картинка кстати.А как мне это расписать?
Так и написать в предзачетной практике:
№2333 *Условие*
Решение:
следует из критерия коши.

Или там есть решение?
Подскажите пожалуста

Добавлено спустя 15 минут 40 секунд:

На другом форуме мне написали такую вещь :

меняешь интеграл и предел местами, предел синX/X равен 1, в общем то все...

Есть такая темка или нет?

[Brukvalub]

Юный Математик писал(а):

Так и написать в предзачетной практике:
№2333 *Условие*
Решение:
следует из критерия коши.

Судя по этому Вашему вопросу,самым правильным будет написать в предзачетной практике: я ничего не учил и учить не собираюсь.

[Юный Математик]

Brukvalub писал(а):

Судя по этому Вашему вопросу,самым правильным будет написать в предзачетной практике: я ничего не учил и учить не собираюсь.

Ну это препод и так знает,просто если бы у меня были лекции с Критерием Коши этого вопроса бы не последовало.А так я уже понял что надо учится,и планирую со следующего курса(если канешн здам сессию) стать прилежным студентом.Честно.

Вот.А у вас многоуважаемый есть отличная возможность помочь встать мне на путь праведника.

[Gordmit]

Цитата:

меняешь интеграл и предел местами, предел синX/X равен 1, в общем то все...

Есть такая темка или нет?

Нет, такой темки здесь нет. Во-первых, нельзя менять местами предел и интеграл, а во-вторых $\frac{\sin x}{x}\neq 1$

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

Юный Математик
Формулировка критерия Коши есть в Демидовиче, она не такая редкость, что встречается исключительно в лекциях

[Юный Математик]

Цитата:

Юный Математик
Формулировка критерия Коши есть в Демидовиче, она не такая редкость, что встречается исключительно в лекциях

Я конечно не очень понимаю в матане,но помоему у коши не один критерий.
И кстати можно отучится на следующих курсах не имею знаий по первому?

[Brukvalub]

Юный Математик писал(а):

Вот.А у вас многоуважаемый есть отличная возможность помочь встать мне на путь праведника

Я уверен, что старшина решит эту задачу существенно эффективнее. А сейчас я уже все сказал, Вам осталось взять в руки учебник и выучить Критерий Коши, а затем применить его к задаче. И еще: более идиотского совета, чем Вам дали на другом форуме, я и придумать-то не смог бы (возможно, там над Вами просто пошутили, лодырей нигде не любят).

[Юный Математик]

Brukvalub писал(а):

Юный Математик писал(а):

Вот.А у вас многоуважаемый есть отличная возможность помочь встать мне на путь праведника

Я уверен, что старшина решит эту задачу существенно эффективнее. А сейчас я уже все сказал, Вам осталось взять в руки учебник и выучить Критерий Коши, а затем применить его к задаче. И еще: более идиотского совета, чем Вам дали на другом форуме, я и придумать-то не смог бы (возможно, там над Вами просто пошутили, лодырей нигде не любят).

Ок!Только какой именно критерий коши и кто такой старшина?

[Brukvalub]

Юный Математик писал(а):

Ок!Только какой именно критерий коши и кто такой старшина?

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла, а старшина - это опытный и умелый воспитатель юных лоботрясов в рядах Российской Армии (судя по всему, весьма скоро Вы узнаете многое о старшине на своем опыте)

[Юный Математик]

Brukvalub писал(а):

Юный Математик писал(а):

Ок!Только какой именно критерий коши и кто такой старшина?

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла, а старшина - это опытный и умелый воспитатель юных лоботрясов в рядах Российской Армии (судя по всему, весьма скоро Вы узнаете многое о старшине на своем опыте)

Спасибо,а вот армия мне не грозит я по здоровью негоден ну вааабще никак,кто муже я Чернобылец,думаю вы знаете кто это такие.

[Brukvalub]

Юный Математик писал(а):

Спасибо,а вот армия мне не грозит я по здоровью негоден

Тогда к чему вообще заморачиваться учебой? Ведь можно и дальше ничего не делать!

[Юный Математик]

Brukvalub писал(а):

Юный Математик писал(а):

Спасибо,а вот армия мне не грозит я по здоровью негоден

Тогда к чему вообще заморачиваться учебой? Ведь можно и дальше ничего не делать!

Я же говорю мне эту сессию пережить и я стану праведником