Рассмотрим систему диофантовых уравнений

, где

- натуральное число и

.
Докажем, что она не имеет решений в натуральных числах при

. Отсюда и будет следовать решение задачи.
(На самом деле вопрос - при каких

решения существуют или не существуют, решен пока для некоторых бесконечных серий и отдельных значений

и т.о. является открытой проблемой).
Будем строить эллиптическую кривую, которая поможет нам решить задачу.
Перемножим

и

и результат поделим на

. Обозначим

.
Тогда

.
Далее будем действовать по стандартной схеме Морделла.
Ообозначим

,

.

переходит в

.
Запишем

так:

Положим

,

,


Тогда при замене

уравнение

переходит в

, где

.
(Здесь закончилась процедура Морделла).Далее.
Умножаем

на

, полагаем

и

получаем уравнение эллиптической кривой в стандартной форме (

)

. Это уравнение кривой для любого натурального

.
Любому натуральному решению

cсоответствует рациональная точка на

.(Обратное в нашем случае не верно)
Для

уравнение

выглядит так:

или

. (Выбрав другой способ получения кривой,
мы, возможно, получили бы другую кривую без разложения правой части на удобные множители).
На кривой

есть четыре очевидные рациональные точки

порядка

. C помощью PARI/GP вычисляем ранг

. Ранг равен нулю.
Следовательно, рациональных точек бесконечного порядка на кривой нет.
Теперь надо разобраться, нет ли еще точек конечного порядка с

.
Дискриминант

. Следовательно, можно проводить редукцию по любым
простым

и далее использовать теорему Лутц-Нагеля о существовании гомоморфизма группы рациональных точек

, ограничение которого
на группу кручения

является вложением.
Воспользуемся тем, что

не входит в число делителей дискриминанта, делит

и проведем редукцию по модулю

.
Группа

состоит из четырех точек

. Но четыре рациональные точки нам уже известны, следовательно,

состоит из четырех точек и других нет.
Остается заметить, что рациональные точки с

соответствуют

из

и не дают в исходных уравнениях целых решений(следствие того, что мы перемножили

и

).
На этом доказательство закончено.
Поскольку общее уравнение эллиптической кривой

выписано, то можно по предложенной методике испробовать и другие

.
Но можно и не доводить дело до эллиптических кривых и попытаться использовать уравнение

, которое переписывается в форме

.