Система диофантовых уравнений

[scwec]

AKM:

Отделено от темы «Существование точки X внутри квадрата».

Вот вполне приемлемая и достойная задача для решения из этой серии.
Докажите, что на прямой, параллельной стороне единичного квадрата и отстоящей от этой стороны на расстоянии $\frac{1}{3}$,
нет точек с рациональными расстояниями до всех вершин квадрата.

[scwec]

Может быть будет интересно кому-нибудь узнать, что поставленая в предыдущем сообщении задача сводится к доказательству отсутствия рациональных точек на эллиптической кривой с $y\ne{0}$ $y^2=x^3-57456x+3231360$. Верно ведь, странные числа для единичного квадрата и числа $\frac{1}{3}$. Однако другие варианты еще страшнее. Чуть позже постараюсь об этом подробно рассказать.

[scwec]

Рассмотрим систему диофантовых уравнений $q^2+p^2=a^2\qquad(1)$ $q^2+(kq-p)^2=b^2\qquad(2)$, где $k$- натуральное число и $gcd(p,q)=1$.
Докажем, что она не имеет решений в натуральных числах при $k=3$. Отсюда и будет следовать решение задачи.
(На самом деле вопрос - при каких $k$ решения существуют или не существуют, решен пока для некоторых бесконечных серий и отдельных значений $k$ и т.о. является открытой проблемой).
Будем строить эллиптическую кривую, которая поможет нам решить задачу.
Перемножим $(1)$ и $(2)$ и результат поделим на $q^4$. Обозначим $\frac{p}{q}=x, \frac{ab}{q^2}=y$.
Тогда $y^2=x^4-2kx^3+(2+k^2)x^2-2kx+(1+k^2)\qquad(3)$.
Далее будем действовать по стандартной схеме Морделла.
Ообозначим $x=\frac{X+k}{2}$, $Y=4y$.
$(3)$ переходит в $Y^2=X^4-2(k^2-4)X^2+(k^2+4)^2\qquad(4)$.
Запишем $(4)$ так: $Y^2=X^4-6\frac{k^2-4}{3}X^2+4\cdot{0}\cdot{X}+(k^2+4)^2\qquad(5)$
Положим $c=\frac{k^2-4}{3}$, $d=0$, $e=(k^2+4)^2$
$g_2=e+3c^2, g_3=-ce-d^2+c^3$
Тогда при замене $Y=-X^2+2u+c, 2X=\frac{v-d}{u-c}$ уравнение $(5)$ переходит в $v^2=4u^3-g_2{u}-g_3$\qquad(6), где
$g_2=\frac{4}{3}(k^4+4k^2+16),g_3=-\frac{8}{27}{(k^2-4)(k^2+8)(k^2+2)}$.
(Здесь закончилась процедура Морделла).Далее.
Умножаем $(6)$ на $4^2\cdot{27^2}$, полагаем $w=108v$ и $s=36u$
получаем уравнение эллиптической кривой в стандартной форме ($y^2=x^3+Ax+B$)
$w^2=s^3-432(k^4+4k^2+16)s+3456(k^2-4)(k^2+8)(k^2+2)\qquad(7)$. Это уравнение кривой для любого натурального $k$.
Любому натуральному решению $(1),(2)$ cсоответствует рациональная точка на $(7)$.(Обратное в нашем случае не верно)
Для $k=3$ уравнение $(7)$ выглядит так: $w^2=s^3-57456s+3231360$ или $w^2=(s+264)(s-204)(s-60)\qquad(8)$. (Выбрав другой способ получения кривой,
мы, возможно, получили бы другую кривую без разложения правой части на удобные множители).
На кривой $(8)$ есть четыре очевидные рациональные точки $(-264,0),(204,0),(60,0),\infty$ порядка $2$. C помощью PARI/GP вычисляем ранг $(8)$. Ранг равен нулю.
Следовательно, рациональных точек бесконечного порядка на кривой нет.
Теперь надо разобраться, нет ли еще точек конечного порядка с $w\ne{0}$.
Дискриминант $D=-4\ctod(-57456)^3-27\ctod(3231360)^2=476767574360064={2^{16}}{3^{16}}{13^2}$. Следовательно, можно проводить редукцию по любым
простым $p\ne{2},{3},{13}$ и далее использовать теорему Лутц-Нагеля о существовании гомоморфизма группы рациональных точек $E(Q)\to{E_p}(Z_p)$, ограничение которого
на группу кручения $E(Q)_{tor}$ является вложением.
Воспользуемся тем, что $7$ не входит в число делителей дискриминанта, делит $57456$ и проведем редукцию по модулю $7$.
Группа ${E_7}(Z_7)$ состоит из четырех точек $(1,0),(2,0),(4,0),\infty$. Но четыре рациональные точки нам уже известны, следовательно, $E(Q)_{tor}=Z_2\oplus{Z_2}$ состоит из четырех точек и других нет.
Остается заметить, что рациональные точки с $w=0$ соответствуют $a=b$ из $(1),(2)$ и не дают в исходных уравнениях целых решений(следствие того, что мы перемножили $(1)$ и $(2)$).
На этом доказательство закончено.
Поскольку общее уравнение эллиптической кривой $(7)$ выписано, то можно по предложенной методике испробовать и другие $k$.
Но можно и не доводить дело до эллиптических кривых и попытаться использовать уравнение $(4)$, которое переписывается в форме
$Y^2=(X^2-k^2+4)^2+(4k)^2$.

[scwec]

Просьба Модераторам.
Если можно, выделить три последних сообщения в отдельную тему.
http://dxdy.ru/post614714.html#p614714
http://dxdy.ru/post615992.html#p615992
http://dxdy.ru/post616563.html#p616563
Спасибо.

[scwec]

Замечу, что правая часть уравнения $(7)$ разлагается на множители не только для $k=3$, но и для любого $k$.
А именно, $(7)$ записывается так: $w^2=(s-12k^2-96)(s-12k^2+48)(s+24k^2+48)$.
Отсюда, например, следует, что группа кручения этой кривой $E(Q)_{tor}$ содержит подгруппу $Z_2\oplus{Z_2}$ для любого $k$.
Если кому-нибудь интересно, я приведу пример другой эллиптической кривой для этой же системы уравнений $(1),(2)$ с группой кручения $Z_4$. Она будет содержать $\infty$ , точку второго порядка и две точки четвертого порядка. Разные подходы дают разные эллиптические кривые для одной и той же системы уравнений.

[xmaister]

(scwec)

Хотелось бы задать Вам несколько ламерских вопросов, если не лень ответьте пожалуйста:

Как я понял, изначально у нас есть некоторое поле $\Bbbk$ и какое-либо множество точек $E=\{(x,y)|f(x,y)=0.f(x,y)\in \Bbbk [x,y]\}$. Рассматриваем проективное пространство $\Bbbk P^2$ и надо бы это $E$ в $\Bbbk P^2$ наверное как-то вложить, наверное чтобы добавить бесконечную точку? Пусть есть эллиптическая кривая $E$ над $\Bbbk$ с ненулевым дискриминантом. Её вкладываем в $\Bbbk P^2$ и добавляем бесконечную точку (кстати, каким образом добавляем, просто говорим $E\cup\{\infty\}$?), чтобы $E(\Bbbk)$ была группой. А у всякой ли проективной кривой можно складывать точки, так, чтобы множество $E(\mathbb{Q})$- стало группой?

[scwec]

(Оффтоп)

Для xmaister: чтобы удовлетворить свое любопытство по данной теме, Вам стоит прочитать первую главу книги Кнэппа Эллиптические кривые. Можно и дальше. По поводу вопросов: на кубической невырожденной кривой нулем группы можно объявлять любую точку, в т.ч. и $\infty$, закон умножения меняется, но групповая структура сохраняется. Как правило удобно использовать $\infty$.
Что касается сложения точек на любой кривой для получения группы, то это из области фантастики.

Хочу сказать, что в этой теме не планировалось разбираться в теории эллиптических кривых.
Цеь - показать элементарные приемы применения эллиптических кривых для решения вопросов, связанных с диофантовыми уравнениями.
Здесь, в частности - системы $(1),(2)$. Если кто-то заинтересован - присоединяйтесь. Может быть, найдутся новые решения.
Во всяком случае я хочу позже дать сообщение по поводу методики вычисления ранга кривых.

[scwec]

В отношении вычисления ранга кривых - переехало сюдаhttp://dxdy.ru/topic62475.html

[maxal]

scwec в сообщении #616563 писал(а):

C помощью PARI/GP вычисляем ранг $(8)$. Ранг равен нулю.
Следовательно, рациональных точек бесконечного порядка на кривой нет.
Теперь надо разобраться, нет ли еще точек конечного порядка с $w\ne{0}$.

Для этого можно также воспользоваться PARI/GP, а именно функцией elltors().

Кстати, что это за "стандартная схема Морделла"?

-- Thu Nov 22, 2012 11:42:31 --

scwec в сообщении #616563 писал(а):

Тогда $y^2=x^4-2kx^3+(2+k^2)x^2-2kx+(1+k^2)\qquad(3)$.
...
получаем уравнение эллиптической кривой в стандартной форме ($y^2=x^3+Ax+B$)
$w^2=s^3-432(k^4+4k^2+16)s+3456(k^2-4)(k^2+8)(k^2+2)\qquad(7)$.

А это преобразование к форме Вейерштрасса умеет делать мапл:

> algcurves[Weierstrassform](y^2 - (x^4-2*k*x^3+(2+k^2)*x^2-2*k*x+(1+k^2)),x,y,s,w);

[s^3+(-16/3-4/3*k^2-1/3*k^4)*s-2/27*k^6-4/9*k^4+16/9*k^2+128/27+w^2, -1/3*(5*RootOf(_Z^2+1)*k^2+x*k^2+4*RootOf(_Z^2+1)-4*x+6*k-6*RootOf(_Z^2+1)*k*x)/(-RootOf(_Z^2+1)+x), -2*RootOf(_Z^2+1)*k*(k-2*RootOf(_Z^2+1))/(-RootOf(_Z^2+1)+x)^2*y, -1/2*(-6*s*RootOf(_Z^2+1)+10*RootOf(_Z^2+1)*k^2+8*RootOf(_Z^2+1)+12*k)/(3*s+k^2-6*RootOf(_Z^2+1)*k-4), 18*w*k*(RootOf(_Z^2+1)*k+2)/(-16+44*k^2-48*RootOf(_Z^2+1)*k-k^4+12*RootOf(_Z^2+1)*k^3+36*RootOf(_Z^2+1)*k+24-6*k^2)*s-9*s^2)]

Здесь первая компонента результата - кривая в форме Вейерштрасса, вторая и третья - выражения для s,w в виде рациональных функций от x,y, а четвертая и пятая - наоборот: выражения для x,y в виде рациональных функций от s,w.

В данном случае уравнение получилось то же самое (с точностью до множителя в переменных), но в рациональных преобразованиях у мапла почему-то присутствует мнимая единица (в виде "RootOf(_Z^2+1)"), у вас же её нет - странно....

[scwec]

maxal, относительно стандартной схемы Морделла - это преобразование уравнения $y^2=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$, которое имеет рациональное решение, в эквивалентное $Y^2=4X^3-g_2X-g_3$. Описано у Морделла в Diophantine Equations, стр. 77.
Согласен, что с точками конечного порядка лучше разбираться пользуясь PARI/GP, но в простых случаях можно с помощью карандаша и бумаги.
К сожалению, я не пользуюсь мапл. Любопытно, что она выдаст при приведении к форме Вейерштрасса уравнения $ax^3+bx^3=c$.
Не могли бы Вы привести текст.
По поводу появления мнимой единицы надо подумать.
Сейчас посмотрел внимательней на ответ мапл. В Вейерштассовой форме уравнения знак перед $w^2$ должен быть минус, а стоит плюс.
Что там за правила прочтения? И дальше поехало.

[scwec]

При такой форме записи естественно возникает мнимая единица. Т.е. когда не $w^2=s^3+As+B$, а $s^3+As+B+w^2=0$.
Не зная мапл, сваливаю мнимую единицу на его причуды.

[maxal]

scwec в сообщении #648533 писал(а):

При такой форме записи естественно возникает мнимая единица. Т.е. когда не $w^2=s^3+As+B$, а $s^3+As+B+w^2=0$.
Не зная мапл, сваливаю мнимую единицу на его причуды.

Похоже, все несколько сложнее. Мнимая единица не является лишь коэффициентом в $w$, а входит в преобразования более сложным образом.
Кроме того, в $s^3+As+B+w^2=0$ переменные разделяются так: $w^2 = (-s)^3 + A(-s) - B$ (то есть, заменой $s$ на $-s$) и это не требует мнимой единицы.
Кроме того, если желательно разделить переменные, то у этой функции предусмотрена опция Weierstrass.

-- Fri Nov 23, 2012 10:07:20 --

scwec в сообщении #648472 писал(а):

Любопытно, что она выдаст при приведении к форме Вейерштрасса уравнения $ax^3+bx^3=c$.

В общем виде выдает такое:

> algcurves[Weierstrassform](a*x^3+b*y^3-c,x,y,z,t,Weierstrass);      

[t^2-4*z^3+27*a^2*b^2*c^2, 3*a*(RootOf(a*_Z^3+b)^2*a*x^2-RootOf(a*_Z^3+b)*b*y^2-y*b*x), 9*b*a*(2*a*x^3+2*a*RootOf(a*_Z^3+b)*x^2*y-c+2*a*RootOf(a*_Z^3+b)^2*x*y^2), 1/6*(9*a*RootOf(a*_Z^3+b)^2*b*c+RootOf(a*_Z^3+b)^2*t)/b/z, 1/6*(-9*b*a*RootOf(a*_Z^3+b)*c+RootOf(a*_Z^3+b)*t)/b/z]

Если же известна рациональная точка - например, для $(a,b,c)=(2,1,3)$, то все становится рационально:

> algcurves[Weierstrassform](2*x^3+y^3-3,x,y,z,t,[1,1,1],Weierstrass);

[t^2-4*z^3+972, -3*(2*x^2-3*y+2*y*x-y^2-3)/(x^2-2*x+1), 18*(x^3-3*x^2-3*x-2*y*x^2+3*y-2*y^2*x+3*y^2+6)/(x^3-3*x^2+3*x-1), (-162*z+972+2*z^3+3*t*z+54*t)/(-1944+2*z^3+36*z^2), (-162*z+486+z^3-3*t*z-27*t)/(-972+z^3+18*z^2)]

[scwec]

Ну вот, для $ax^3+by^3=c$ всё получилось как положено, но с функцией Weierstrass. Если применить её и в исходном случае, то вопросов, наверное, не возникает?

[maxal]

scwec в сообщении #648635 писал(а):

Ну вот, для $ax^3+by^3=c$ всё получилось как положено, но с функцией Weierstrass. Если применить её и в исходном случае, то вопросов, наверное, не возникает?

Нет, мнимая единица по-прежнему присутствует:

> algcurves[Weierstrassform](y^2 - (x^4-2*k*x^3+(2+k^2)*x^2-2*k*x+(1+k^2)),x,y,s,w,Weierstrass);

[w^2-4*s^3-4*(-16/3-4/3*k^2-1/3*k^4)*s-8/27*k^6-16/9*k^4+512/27+64/9*k^2, 1/3*(4*RootOf(_Z^2+1)-4*x+6*k-6*RootOf(_Z^2+1)*k*x+5*RootOf(_Z^2+1)*k^2+x*k^2)/(-RootOf(_Z^2+1)+x), -4*RootOf(_Z^2+1)*k*(k-2*RootOf(_Z^2+1))/(-RootOf(_Z^2+1)+x)^2*y, -1/2*(6*s*RootOf(_Z^2+1)+10*RootOf(_Z^2+1)*k^2+12*k+8*RootOf(_Z^2+1))/(-3*s+k^2-6*RootOf(_Z^2+1)*k-4), 9*w*k*(RootOf(_Z^2+1)*k+2)/(-16-k^4-48*RootOf(_Z^2+1)*k+44*k^2+12*RootOf(_Z^2+1)*k^3+(6*k^2-24-36*RootOf(_Z^2+1)*k)*s-9*s^2)]

[scwec]

Если предложить конкретное $k=3$? Останется мнимая единица?
Может быть надо указать известную рациональную точку $(\frac{k}{2},\frac{k^2+4}{4})$