Система диофантовых уравнений

[maxal]

scwec в сообщении #648654 писал(а):

Если предложить конкретное $k=3$? Останется мнимая единица?
Может быть надо указать известную рациональную точку $(\frac{k}{2},\frac{k^2+4}{4})$

Для $k=3$ мнимая единица остается.
При указании рациональной точки в общем виде мапл 16.01 уходит в бесконечные вычисления (похоже на баг).
А вот при указании рациональной точки для $k=3$ мнимая единица исчезает.

[scwec]

maxal, из того, что вы показали выходит, что во всех случаях по получаемым из мапл уравнениям вопросов не возникает.
При указании конкретных значений $k,a,b,c$ и задании конкретных рациональных решений, вопросов к формулам преобразований тоже нет.
Вопросы по формулам преобразований возникают при символьном задании коэффициентов (и с $a,b,c$, похоже, тоже), а также
при не указании конкретного рационального решения или указания его в символьном виде.
Придется завести себе мапл. Спасибо за тексты и разъяснения.

[maxal]

scwec в сообщении #648844 писал(а):

Вопросы по формулам преобразований возникают при символьном задании коэффициентов (и с $a,b,c$, похоже, тоже), а также
при не указании конкретного рационального решения или указания его в символьном виде.
Придется завести себе мапл.

Если разберетесь в причинах - дайте мне знать...

[scwec]

maxal, первые наблюдения. Пересчитал десятка три различных уравнений разного вида (мапл15).
1. Если правильно указывается рациональная точка, в символьном виде или числовом выражении, во всех случаях никаких вопросов не возникает. В случае, указанном вами с зацикливанием, тоже всё нормально. Расчет проходит мгновенно и формулы перехода мнимых единиц не содержат.

> algcurves[Weierstrassform](y^2 - (x^4-2*k*x^3+(2+k^2)*x^2-2*k*x+(1+k^2)),x,y,u,w,[2k,k^2+4,4],Weierstrass);

[w^2-4u^3-4(-1/3*k^4-4/3*k^2-16/3)*u-8/27*k^6-16/9*k^4+64/9*k^2+512/27,1/3(k^4+14*k^2+24+2*x*k^3-2*x^2*k^2-8*k*x+8*x^2+6*y*k^2+24*y)/(k^2-4*k*x+4*x^2),
4*(k^3*x-k^4*x^2+3*k^4+16*k^2-16*k*x+16+16*x^2+k^4*y+8*y*k^2+16*y)/(k^3-6*x*k^2+12*k*x^2-8*x^3),(40*k^3+64*k+4*k^3-18*u^2*k+(-6*k^3+24*k)*u+(36+9*k^2)*w)/
(80*k^2+128+8*k^4-36*u^2+(-12*k^2+48)*u),-1/2*(k^6-6*u*k^4+32*k^4+9*u^2*k^2+128*k^2+64+36*u^2+96*u)/(40*k^2+24*u+4*k^4-6*k^2*u-18*u^2+64)]

2. Правильно пишутся формулы перехода и тогда, когда рациональная точка не указывается, но свободный член квадрат.
Например,$y^2=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e^2$. Рациональная точка $(0,e)$
3. Уравнение из $1.$ не содержит свободного члена-квадрата, поэтому без указания рациональной точки появляется мнимая единица в формулах перехода. Стоит сделать замену $x=\frac{X+k}{2},Y=4y$, уравнение превращается в $Y^2=X^4-2(k^2-4)X^2+(k^2+4)^2$ и приводится к Вейерштрассову виду без указания рациональной точки.
Какова бы не была причина появления мнимой единицы, её можно избежать, задав рациональную точку, если её,конечно, знать.
Это пока всё. Если путное что-нибудь придумаю, сообщу.
Кстати, уравнение $x^3+y^3=c$ приводится без задания рациональной точки.Но оно уж очень известно.