Точка в R^3 и неголономная связь

[scwec]

Точка единичной массы движется в $\mathbb{R}^3$ в отсутствии силового поля. На эту систему наложена неголономная свяь
$\omega=ydx+dz=0$, где $x,y,z$ - декартовы координаты в $\mathbb{R}^3$. То, что связь неголономная следует из того, что $\omega\wedge{d\omega}=dz\wedge{dy}\wedge{dx}\ne{0}$.
Напишите уравнения движения точки, и проинтегрируйте их.
Верно ли, что любые две точки $\mathbb{R}^3$ можно соединить отрезком траектории движения точки? (Ясно, что если связь голономная, то это не так).

[Oleg Zubelevich]

по моему опыту неголономных связей здесь не знают

$$\ddot x-y\ddot z=0,\quad \ddot y=0,\quad y\dot x+\dot z=0$$

подставить $y$ из полседнего уравнения в первое

[scwec]

Второе - это симметрия относительно премещения вдоль $y$, которая допускается связью, третье - сама связь, а вот первое у меня по другому написано.

[Oleg Zubelevich]

основное уравнение динамики $\ddot x\delta x+\ddot y\delta y+\ddot z\delta z=0,$
подставляем сюда $ \delta z=-y\delta x$ приравниваем нулю члены при $\delta x,\delta y$

[Munin]

scwec в сообщении #646063 писал(а):

Верно ли, что любые две точки $\mathbb{R}^3$ можно соединить отрезком траектории движения точки? (Ясно, что если связь голономная, то это не так).

По-моему, точки $(0,0,0)$ и $(0,0,1)$ соединить нельзя. (Несколькими отрезками траекторий - можно. Но для каждой отдельной траектории кроме связи есть какие-то интегралы движения, которые снижают размерность того, что можно достигнуть.)

[scwec]

Предлагаю всё-таки проинтегрировать уравнения движения, тогда проще будет ответить на вопрос о соединении точек.
Что касается другой формы записи уравненй, то, конечно, всё сделано верно.

[Oleg Zubelevich]

так я не понял, мы с Вами по поводу уравнений движения пришли к общему мнению?

[scwec]

Дело в том, что я писал уравнения Гамеля-Больцмана, и, естественно, первое уравнение не содержит $\ddot z$.
(В качестве квазискоростей выбирались $dx,dy,\omega$ и, кстати, соответствующие векторные поля образовали разрешимую алгебру Ли).
Потом, при необходимости, можно подробней написать, как это делалось. Вы же всё сделали верно и проще. В конце-концов, надо ведь уравнения проинтегрировать. Пока это здесь не сделано, хотя труда не должно составить.

[Oleg Zubelevich]

первый интеграл $\dot x^2+\dot z^2$

[scwec]

Но из Ваших уравнений следует, что первый интеграл $\dot y$, а теперь, следовательно, и $\dot x$. Черезчур хорошо. А, у Вас там оказывается не $y$, а $z$. Я не разглядел или Вы исправили. С $z$ согласен.

[Munin]

scwec в сообщении #646145 писал(а):

Предлагаю всё-таки проинтегрировать уравнения движения, тогда проще будет ответить на вопрос о соединении точек.

Я не знаю, как это сделать. Неголономных связей не умею интегрировать. Наивная попытка такая:
при движении в пространстве скоростей вектор скорости находится на плоскости $yv_x+v_z=0,$ которая по мере движения поворачивается. Значит, на него действует сила по нормали к этой плоскости, такая, которая заставляет его оставаться на ней.
Вектор нормали $(-1,0,-y)/\sqrt{1+y^2}.$ За $dt$ точка смещается на $(v_xdt,v_ydt,v_zdt),$ плоскость становится $(y+v_ydt)v_x+v_z=0,$ новая скорость $(v_x+y\,dv_z,v_y,v_z+dv_z)$ лежит на ней, то есть
$(y+v_ydt)(v_x+y\,dv_z)+v_z+dv_z=0$
$yv_x+v_yv_xdt+y^2dv_z+o+v_z+dv_z=0$
$v_yv_xdt+y^2dv_z+dv_z=0$
$\dfrac{dv_z}{dt}=\dfrac{v_xv_y}{y^2+1}=-\dfrac{v_yv_z}{y(y^2+1)}$
Осталось взять этот интеграл, что мне лень вспоминать, как делать. И даже если я его возьму, не думаю, что это приблизит меня к ответу на вопрос о соединении точек. Получатся какие-то траектории в трёхмерном пространстве, которые ещё поди пойми как выглядят и взаимно расположены. Может, предложите другой путь к ответу?

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #646111 писал(а):

основное уравнение динамики $\ddot x\delta x+\ddot y\delta y+\ddot z\delta z=0,$
подставляем сюда $ \delta z=-y\delta x$ приравниваем нулю члены при $\delta x,\delta y$

Это принцип Даламбера?

[Oleg Zubelevich]

На днях предложу студентам такую задачу:
Материальная точка движется в $\mathbb{R}^3$ в отсутствии силового поля. На эту систему наложена идеальная свяь
$y\dot x+a\dot z=0,\quad a=const\ne 0$, где $x,y,z$ - декартовы координаты в $\mathbb{R}^3$. Доказать, что связь неголономна,
написать уравнения движения точки, и проинтегрировать их.
Верно ли, что любые две точки $\mathbb{R}^3$ можно соединить отрезком траектории движения точки?

Спасибо, scwec

-- Пн ноя 19, 2012 12:43:36 --

Padawan в сообщении #646392 писал(а):

Это принцип Даламбера?

да , это принцип Даламбера-Лагранжа

[scwec]

Munin в сообщении #646276 писал(а):

Может, предложите другой путь к ответу?

Интегрировать будем уравнения из сообщения Oleg Zubelevich.
Первое уравнение заменим на равноценное $T=\frac{1}{2}({\dot x}^2+{\dot y}^2+{\dot z}^2)=h\qquad(1)$ - первый интеграл энергии.
Далее, $\dot y=\operatorname{const}=c_2\qquad(2)$ - линейный по скоростям первый интеграл.
Подставляя $(2)$ и уравнение связи $\dot z=-y\dot x$ в $(1)$ получаем ещё один линейный первый интеграл $\sqrt{1+y^2}\dot x=\operatorname{const}=c_1\qquad(3)$.
Из $(3)$ следует, что $\dot z(\frac{\sqrt{1+y^2}}{y})=\operatorname{const}=c_3\qquad(4)$.
Из $(2),(3),(4)$ легко находятся $x,y,z$ как функции $t$ и шести констант.
Из $(2)$: $y=c_2{t}+d_2$. Подставляя $y$ в $(3)$: $x=c_1\int\frac{dt}{\sqrt{1+(c_2{t}+d_2)^2}}+d_1$ и подставляя $y$ в $(4)$ получаем $z=c_3\int\frac{(c_2{t}+d_2)dt}{\sqrt{1+(c_2{t}+d_2)^2}}+d_3$. Оба интеграла табличные и выражаются в элементарных функциях.
Используя полученные формулы для $x,y,z$, можно решать вопросы о соединении точек траекториями.
Ясно, что $(0,0,0)$ с $(0,0,1)$ траекторией не соединяются. Можно поставить вопрос так: с какими точками $(0,0,0)$ соединяется траекторией?

[Munin]

scwec в сообщении #646463 писал(а):

Интегрировать будем уравнения из сообщения Oleg Zubelevich.

Это мне неинтересно. Я даже не читал (он у меня в игноре). Спасибо, до свидания.