Нахождение вторых производных составной функции

[xio]

Привет! Пытаюсь самостоятельно разобраться в нелинейном анализе, пока выходит с переменным успехом.

Прошу помощи в решении такой задачи:

Дано $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R},r:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R},g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ,$ r:(x,y)\mapsto\sqrt{x^{2}+y^{2}},g(r)=f(x,y)$

Необходимо показать, что $\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=\frac{1}{r}\, g'(r)+g''(r)$

Очевидно, $f(x,y)=(g\circ r)(x,y)$

Дальше решение распадается на два варианта, в зависимости от способа нахождения производной. По крайней мере в одном из них ошибка, поэтому прошу указать на ошибки в рассуждении.

Условно "метод подстановки":

Поскольку полная производная составной функции равна композиции полных производных функций ее составляющих, композиция функций изоморфна произведению матриц и полная производная функции может быть записана ее Якобианом, найдем Якобианы для g и r :

$Dg=\begin{bmatrix}\partial g/\partial r\end{bmatrix}$ , $Dr= \begin{bmatrix}\partial r/\partial x & \partial r/\partial y\end{bmatrix} $

Соответственно, $\partial f/\partial x=\partial g/\partial r\cdot\partial r/\partial x$ . Далее замечаем, что $\partial^{2}f/\partial x^{2}=\partial/\partial x(\partial f/\partial x)$ и простой подстановкой находим$ \partial^{2}f/\partial x^{2}=\partial^{2}g/\partial x\partial r\cdot\partial r/\partial x+\partial g/\partial r\cdot\partial^{2}r/\partial x^{2}\ $$=\partial^{2}g/\partial x\partial r\cdot(x/r)+\partial g/\partial r\cdot(1/r-x^{2}/r^{2})$ . Получаем аналогичное выражение для $ \partial^{2}f/\partial y^{2}=\partial^{2}g/\partial y\partial r\cdot(y/r)+\partial g/\partial r\cdot(1/r-y^{2}/r^{2})$, из чего я в упор не вижу, как должно следовать $1/r\, g'(r)+g''(r)$ .

Условно "метод Якобианов вторых производных":

Как и в первый раз, замечаем, что $\partial^{2}f/\partial x^{2}=\partial/\partial x(\partial f/\partial x)$ и что $\partial f/\partial x$ сама по себе составная функция, $\partial g/\partial x\circ r$ . Якобиан $D\partial g/\partial x=\begin{bmatrix}\partial^{2}g/\partial r\partial x\end{bmatrix}$ , поэтому $\partial/\partial x(\partial f/\partial x)=\partial^{2}g/\partial r\partial x\cdot\partial r/\partial x=\partial^{2}g/\partial r\partial x\cdot(x/r)$ (результат отличный от результата предыдущего метода!). Аналогично для $y$ , $\partial/\partial y(\partial f/\partial y)=\partial^{2}g/\partial r\partial y\cdot\partial r/\partial x=\partial^{2}g/\partial r\partial y\cdot(y/r)$ и из $\partial^{2}g/\partial r\partial x\cdot(x/r)+\partial^{2}g/\partial r\partial y\cdot(y/r)$ непонятно, как должна следовать правая часть исходного равенства.

[ИСН]

Часть про якобианы и матрицы я не понял, поэтому отметаю. Сосредоточимся на первом методе. Что Вы планируете делать с $\partial^2g/\partial x\partial r$? Как искали $\partial^2r/\partial x^2$?

[xio]

ИСН в сообщении #645618 писал(а):

Сосредоточимся на первом методе. Что Вы планируете делать с $\partial^2g/\partial x\partial r$? Как искали $\partial^2r/\partial x^2$?

С $\partial^{2}g/\partial x\partial r$ кажется уже ничего нельзя поделать, потому что нет формулы для $g$ .

$\partial^{2}r/\partial x^{2}$ находил в два шага: сначала первую производную --- $x/r$ --- затем вторую по правилу деления производных для функции от одной перменной. Честно говоря, получились несколько громоздкие вычисления, поэтому я просто потом попросил sage:

Используется синтаксис Python

var('x y')
r(x, y) = sqrt(x^2 + y^2)
derivative(r, x, x)

$(x,y)\mapsto-x^{2}/(x^{2}+y^{2})^{(3/2)}+1/\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

[TOTAL]

xio в сообщении #645620 писал(а):

С $\partial^{2}g/\partial x\partial r$ кажется уже ничего нельзя поделать, потому что нет формулы для $g$ .

$$\frac{\partial g}{\partial x}=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(g \cdot r)=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(g' \cdot r)=?$$

Покажите, что с этими поделываете.

[xio]

TOTAL в сообщении #645622 писал(а):

xio в сообщении #645620 писал(а):

С $\partial^{2}g/\partial x\partial r$ кажется уже ничего нельзя поделать, потому что нет формулы для $g$ .

$$\frac{\partial g}{\partial x}=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(g \cdot r)=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(g' \cdot r)=?$$

Покажите, что с этими поделываете.

$$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(g\cdot r)=\frac{\partial g}{\partial x}\cdot r+g\cdot\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}\cdot r+g\cdot\frac{\partial r}{\partial x}$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(g'\cdot r)=\frac{\partial^{2}g}{\partial x\partial r}\cdot r+\frac{\partial g}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}$$

Как-то так.

[TOTAL]

Второй и третий почему отличаются, в чем разница (всего лишь заменено $g$ на $g'$)?
Почему во втором дальше продвинулись?

[xio]

TOTAL в сообщении #645635 писал(а):

Второй и третий почему отличаются, в чем разница (всего лишь заменено $g$ на $g'$)?

Этим и отличаются? Не вполне понял вопроса.

Цитата:

Почему во втором дальше продвинулись?

Потому что был терм $\frac{\partial g}{\partial x}$, а потом его нет, не знаю даже.

[TOTAL]

xio в сообщении #645638 писал(а):

TOTAL в сообщении #645635 писал(а):

Второй и третий почему отличаются, в чем разница (всего лишь заменено $g$ на $g'$)?

Этим и отличаются? Не вполне понял вопроса.

Второй и третий примеры одинаковые (с точостью до обозначения). Почему результаты дифференцирования разные?

[xio]

TOTAL в сообщении #645641 писал(а):

xio в сообщении #645638 писал(а):

TOTAL в сообщении #645635 писал(а):

Второй и третий почему отличаются, в чем разница (всего лишь заменено $g$ на $g'$)?

Этим и отличаются? Не вполне понял вопроса.

Второй и третий примеры одинаковые (с точостью до обозначения). Почему результаты дифференцирования разные?

Объясните, почему? Все-таки $f \neq f'$ в общем случае.

[TOTAL]

xio в сообщении #645642 писал(а):

Объясните, почему? Все-таки $f \neq f'$ в общем случае.

Что объяснить?

[ИСН]

xio, как Вы совершили переход $\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}$? Когда так можно делать? Почему так можно?

-- Сб, 2012-11-17, 12:52 --

Как тут ещё сказать. Попробую так:
С какими функциями так можно?

[TOTAL]

$$\frac{\partial}{\partial x}(g \cdot r)=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(u \cdot r)=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(v \cdot r)=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(w \cdot r)=?$$

Выполните все 4 дифференцирования.
Здесь $g,u,v,w$ являются функциями одного аргумента $r.$

[ИСН]

(Оффтоп)

Угроза выкалывания глаза указующими перстами реальна как никогда.

[xio]

ИСН в сообщении #645644 писал(а):

xio, как Вы совершили переход $\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}$? Когда так можно делать? Почему так можно?

-- Сб, 2012-11-17, 12:52 --

Как тут ещё сказать. Попробую так:
С какими функциями так можно?

Попробую объяснить свой ход мысли (он может показаться странным, потому что теорию я учил заочно, притом по американской книге (но вполне хорошей)):

$f$ есть составная функция от функции от одной перменной $g(r)$ и скалярного поля $r(x, y)$: $f(x,y)=(g\circ r)(x,y)$. Частная производная функции $D_{n}f$ есть скалярное произведение n-нного ряда якобиана $Dg$ и n-нного столбца якобиана $Dr$ (соответствующие якобианы я написал в изначальном посте). Вот. Поелику $Dg$ суть $1\times 1$, а Dr $1\times 2$ матрицы, то и получаем исходную формулу.

-- 17.11.2012, 13:28 --

TOTAL в сообщении #645645 писал(а):

$$\frac{\partial}{\partial x}(g \cdot r)=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(u \cdot r)=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(v \cdot r)=?$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(w \cdot r)=?$$

Выполните все 4 дифференцирования.
Здесь $g,u,v,w$ являются функциями одного аргумента $r.$

Зачем их так много, если они все одинаковые? Пожалуй, в случае $\frac{\partial}{\partial x}(g \cdot r)$ будет $r\cdot\frac{\partial g}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}$ и аналогично для других случаев.

[TOTAL]

xio в сообщении #645649 писал(а):

Зачем их так много, если они все одинаковые? Пожалуй, в случае $\frac{\partial}{\partial x}(g \cdot r)$ будет $r\cdot\frac{\partial g}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}$ и аналогично для других случаев.

Некправильно даже для одного случая. Исправьте и запишите для "другого" случая.