Максимальная длина стороны вписанного куба.

[Руст]

В n-мерный куб со стороной 1 вписан k- мерный куб (естественно k<=n) со стороной а.
Какое максимальное значение может иметь max(a)=a(n,k). Например, $a(n,1)=\sqrt n$. Чему равно a(n,2),a(n,3)...?

[MMyaf]

$a(n, k)=\sqrt{\frac{n}{k}}$.

[Руст]

Продемонстрируйте, как вы вкладываете квадрат со стороной $\sqrt{\frac 32 }$ в единичный куб.

[Dandan]

a(3,2) = 1

[MMyaf]

MMyaf писал(а):

$a(n, k)=\sqrt{\frac{n}{k}}$.

при k=1 и k=n;

[Руст]

Вообще то я ещё не решил задачу во всей общности. Похоже формулу MMyaf а можно чуть поправить, чтобы она стала верной.
По уровню сложности можно рассмотреть в таком порядке.
1. Коразмерность равно 0, т.е. n=k.
2. Размерность k=1.
3. Коразмерность равно 1, т.е. k=n-1.
4. Размерность равен двум k=2.
5. Размерность k>n/2.
6. Общий случай.

[Руст]

Несколько очень простых следствий получаются моментально:
1. $a(n,k)\ge \sqrt{[\frac nk ]}$ доказывается обединением по [n/k] координат в одну.
2. $a(n,m)a(m,k)\le a(n,k)$ доказывается масштабированием.
Из них получается
3. $a(n,k)\le \sqrt{\frac nk }.$
В частности, когда n делится на k получаем совпадение верхней и нижней оценки.
Кажется нижняя оценка точная. В общем случае не доказал, возможно есть оригинальное решение.

[juna]

Для $k=n-1$, по-моему, очевидно, что $a(n,n-1)=1$, поэтому $a(n-1,k)\le a(n,k)$
В общем случае, может быть, имеет смысл рассмотреть группу самосовмещений n-мерного куба, тогда для вписанного к-мерного куба группа самосовмещений будет изоморфна некоторой подгруппе n-мерного куба.

[Батороев]

Dandan писал(а):

a(3,2) = 1

А мне кажется, что $ a(3,2) > 1 $
Ведь в кубе помещается прямоугольник $ \sqrt{2} * 1 $
Обрезая по большей стороне, мы можем наращивать что-то по меньшей.
И так, до некоторого квадрата.

[Руст]

Батороев писал(а):

А мне кажется, что $ a(3,2) > 1 $
Ведь в кубе помещается прямоугольник $ \sqrt{2} * 1 $
Обрезая по большей стороне, мы можем наращивать что-то по меньшей.
И так, до некоторого квадрата.

Я уже писал - продемонстрируйте.

[Батороев]

Руст писал(а):

Я уже писал - продемонстрируйте.

Вам прислать кубическую коробочку с квадратным вкладышем:
$ a = \frac{3\sqrt{2}}{4} $?

Если серъезно, то "подрезая" на 2x указанный мною ранее прямоугольник $ \sqrt{2}*1 $ по длинной стороне до \sqrt{2} - 2x $ , имеем возможность "нарастить" меньшую сторону до $ \sqrt{4x^2 +1} $.
При равенстве обеих сторон получим искомое.

[Руст]

Батороев писал(а):

Вам прислать кубическую коробочку с квадратным вкладышем:
$ a = \frac{3\sqrt{2}}{4} $?

Если серъезно, то "подрезая" на 2x указанный мною ранее прямоугольник $ \sqrt{2}*1 $ по длинной стороне до \sqrt{2} - 2x $ , имеем увеличение по меньшей стороне до $ \sqrt{4x^2 +1} $.
При равенстве обоих выражений получим искомое.

Коробочку с квадратичным вкладышем было бы замечательно.
Из-за не имения такой возможности, просто укажите координаты вершин вкладываемого квадрата.

[Батороев]

Руст писал(а):

...укажите координаты вершин вкладываемого квадрата.

Если не напутал:
1. $ (\frac{1}{4}; 0; 0) $
2. $ (1; \frac{3}{4}; 0) $
3. $ (\frac{3}{4}; 1; 1) $
4. $ (0; \frac{1}{4}; 1) $

[Руст]

Действительно это квадрат с центром в $(\frac 12 ,\frac 12 , \frac 12 )$ (совпадающей с центром куба) и стороной $\sqrt{\frac 98 }$.
Это означает, что нижняя оценка не точна, когда n не делится на k.
Похоже и гипотеза Артамонова неверна.
Гипотеза для a(n,2) в случае нечётного n выглядит $a(n,2)=\sqrt{\frac n2 -\frac 38 }.$

[Батороев]

Интересно, а может быть:
$ a(n, k) = \sqrt{\frac{n^k}{k^n}} $?

До $ n = 3 $, вроде, совпадает. Далее - не могу себе представить