Мячик в кастрюльке на вертушке.

[nikvic]

Мячик кинули в кастрюлю с водой, закрыли крышку и поставили кастрюлю на вращающуюся "вертушку" для пластинок.
Где он будет через час - у стенки, на оси или где-то между этми положениями?

[dovlato]

Под центром крышки. Это следует из минимизации потенц. энергии системы вода-мяч в поле центробежных сил.
Кстати, небезынтересен вопрос о выталкивающей силе, действующий на крышку со стороны вращающейся воды.

[nikvic]

nikvic в сообщении #644244 писал(а):

Мячик кинули в кастрюлю с водой, закрыли крышку и поставили кастрюлю на вращающуюся "вертушку" для пластинок.
Где он будет через час - у стенки, на оси или где-то между этми положениями?

Похоже, мы друг друга не поняли: вода в кастрюльке не доходит до крышки, да и мяч её не касается.

[dovlato]

Отсюда следует, что наличие (отсутствие) крышки здесь вообще роли не играет?..

[Xey]

dovlato в сообщении #644491 писал(а):

Отсюда следует, что наличие (отсутствие) крышки здесь вообще роли не играет.

Может кастрюля полная и крышка вдавила мяч в воду. Тогда он будет в центре.
А если свободно плавает, как-то не очевидно, что в центре.
Поверхность воды параболид, она в равновесии, никуда не течет. Мяч вытесняет воду равную его массе, и это без разницы в каком он месте.
?

[dovlato]

В мячике, плавающем в параболоиде, для меня пока нет ничего самоочевидного. Кроме разве что самого параболоида..с ним всё ясно. То-есть даже я не знаю - останется ли масса вытесненной воды в точности равной массе мяча?! Ну.. наверное, надо бы расписать выражение для потенциальной энергии для системы вода-мяч, как функции координат мяча. Затем минимизировать оную.. Сейчас я на такой подвиг не готов.

[nikvic]

Xey в сообщении #644501 писал(а):

Может кастрюля полная и крышка вдавила мяч в воду. Тогда он будет в центре.
?

В этом случае положение мяча зависит от формы крышки

Но он нас не интересует.

[hurtsy]

dovlato в сообщении #644515 писал(а):

Ну.. наверное, надо бы расписать выражение для потенциальной энергии для системы вода-мяч, как функции координат мяча. Затем минимизировать оную.. Сейчас я на такой подвиг не готов.

Насчет подвига, солидарен с вами. А вот законы сохранения применять можно только к замкнутой системе, а кастрюля на вертушке, даже закрытая, таковой не является. На мяч плавающий в воде действуют силы центробежная и выталкивающая, и тут обязательно учитывать негоризонтальность поверхности воды. Эти силы могут уравновеситься не только на оси. Насчет параболоида, тоже возможны варианты, когда мяч касается дна кастрюли(мяч на отмели или даже на мели). Имхо, точка на оси не является устойчивой точкой покоя. С уважением,

[dovlato]

Мне кажется, для определения точек равновесия систему допустимо рассматривать как стационарную, с полем ускорений

$$\vec a(\vec r)=\vec g-\omega^2\vec r$$

где $\vec r$ - вектор горизонтальных координат любой точки, где измеряется это ускорение.
Подозреваю, что для плавающей математической точки (!))) равновесие в любой точке безразличное.
Однако для мячика конечных размеров, различные точки которого испытывают различные ускорения (поле не однородно) - надо бы честно заняться анализом. Но это не самая лёгкая вещь.

[nikvic]

dovlato в сообщении #644911 писал(а):

Однако для мячика конечных размеров, различные точки которого испытывают различные ускорения ...

Подсказка: для кусочков воды это тоже верно.

[dovlato]

Для "кусочков воды" имеет место очевидное равновесие в любом месте параболоида.
На чисто качественном уровне у меня вроде бы вырисовывается ответ тот, что шарик будет сползать к низшей точке.
Рассуждения такие. Рассмотрим кусочек воды, по форме совпадающий с подводной частью плавающего шарика. Центр масс кусочка - где-то очень близко к поверхности параболоида. К этому кусочку приложена результирующая сила, порождённая полем гравитац. и центробеж. ускорений. Она, очевидно, полностью компенсируется полем гидростатических сил; повторю - имеет место равновесие.
Что, по-моему, важно. При рассмотрении шарика необходимо учитывать, что вследствие его ненулевых размеров относительная величина горизонтальных центробежных сил будет меньше, чем у кусочка воды (т.к. его точки ближе к оси). И вследствие этого результирующая гравитационно-центробежных сил и равнодействующая гидростатических сил, по-видимому, перестанут быть коллинеарными (!). Но в таком случае результат их векторного сложения неизбежно даст ненулевой результат: разумеется, будет компенсирована составляющая, перпендикулярная поверхности квазипараболоида, на котором находятся центры масс кусочков воды. Однако останется нескомпенсированная составляющая, направленная по касательной. В результате начнётся скольжение к оси.
Не уверен, что здесь не допущены ошибки. "Кто сможет - пусть сделает больше")).

[nikvic]

dovlato в сообщении #645792 писал(а):

Центр масс кусочка - где-то очень близко к поверхности параболоида. К этому кусочку приложена результирующая сила, порождённая полем гравитац. и центробеж. ускорений. Она, очевидно, полностью компенсируется полем гидростатических сил; повторю - имеет место равновесие.
Что, по-моему, важно. При рассмотрении шарика необходимо учитывать, что вследствие его ненулевых размеров относительная величина горизонтальных центробежных сил будет меньше, чем у кусочка воды (т.к. его точки ближе к оси).

Рассуждениям не хватает аккуратности, есть и прямые "неверности" ("Центр масс кусочка - где-то очень близко к поверхности параболоида").

Поставим мысленный эксперимент - насадим шарик на скользкую спицу, параллельную оси. Во вращающейся системе отсчёта на шарик действуют Земля, среда (вода + воздух), "центробежка" и спица (только в радиальном направлении). Действие среды - по закону Архимеда, и
по проекции на вертикаль получаем равенство масс шарика и
"вытесненной жидкости".

Проектируя на радиальное направление используем равенство двух масс и различие радиусов "орбит" ЦМ шарика и "вытесненной жидкости": расстояние от оси до центра шарика меньше расстояния от оси до ЦМ ВЖ.
Отсюда получим, что спица удерживает шарик от движения к центру...

А если шарик неоднороден? Например, мячик для пинг-понга, внутри которого свинцовая шайба. Тогда неравенство радиусов может быть и противоположным, и шарик уйдёт к стенке.

А зачем крышка? Без неё возможно преобладающее влияние радиального ветра, отгоняющего шарик от оси. Уж больно мала "возвращающая сила": в отличие от обычного kx в нашем случае она равна ~kx^2.

[hurtsy]

nikvic в сообщении #645958 писал(а):

А если шарик неоднороден? А зачем крышка?

Постановке задачи не хватает того, в чем вы "уличаете" решающих

nikvic в сообщении #645958 писал(а):

Рассуждениям не хватает аккуратности, есть и прямые "неверности"

Меня смущает, очень возможная, несоосность вертушки и кастрюли, что может привести к описанию забавного атракциона из "Трёх товарищей" Э.М.Ремарка. Было бы интересно заменить "вертушку" гончарным кругом(копирайт О.Хаям). С уважением

[nikvic]

hurtsy в сообщении #646390 писал(а):

Меня смущает, очень возможная, несоосность вертушки и кастрюли, что может привести к описанию забавного атракциона из "Трёх товарищей" Э.М.Ремарка. Было бы интересно заменить "вертушку" гончарным кругом(копирайт О.Хаям). С уважением

""Пусть Вас не беспокоит ентих глупостев
Форма кастрюли несущественна, нужна лишь вертикальность оси вращения.
И штоп ось была в воде...

[dovlato]

В общем, я, похоже, понял главное.
1. Действительно, масса вытесненной воды совпадает с массой любого плавающего тела - предложенная автором схема работает независимо от его (тела)) формы и распределения его масс.
2. Направление движения тела определится только одним признаком: тем, чей центр масс окажется ближе к оси вращения - ц. м. тела или ц. м. кусочка воды. Правда, определение этого центра у кусочка воды - отдельная задача. Скажем, вблизи нижней точки он где-то близок к оси. А при удалении тела от оси - например, для пинг-понгового шарика почти совпасть с поверхностью параболоида.