Периметры вложенных выпуклых фигур

[ewert]

(Оффтоп)

Doil-byle в сообщении #643467 писал(а):

Значит выпуклое множество - частный случай звёздного множества, разве не так?

Разве так. Но, боюсь, Oleg Zubelevich это не поможет: он постоянно требует вывести всё непосредственно из аксиом Пеано, или там из каких других, неважно каких именно; главное -- тщательно избегать ссылок на общеизвестные факты, пусть даже тупо вытекающие из тех самых аксиом, но формально не являющихся ими.

[_Ivana]

А мне кажется, очень показательная и интересная дискуссия. Если стоит задача предположить результат, то можно рассуждать интуитивно. А если строго доказать - претензии Oleg Zubelevich понятны.

[lyuk]

Я, например, поддерживаю Olegа Zubelevichа. Аргументация типа "тривиально" и "очевидно" относительно интуитивно очень правдоподобных фактов выглядит спекуляцией. Я вот вижу, что рассуждения ewertа следует начинать с доказательства того, что замыкание выпуклого множества -- тоже выпукло, иначе концы максимальных интервальных лучей описывают не всю границу множества. Честнее было бы дать схему доказательства без всяких закидонов: легко, очевидно, неужели еще это вам обьяснять, и т.д.

[ewert]

lyuk в сообщении #643820 писал(а):

Честнее было бы дать схему доказательства без всяких закидонов

Я привёл практически полное доказательство. Во всяком случае, его не вполне очевидную часть -- непрерывную зависимость "максимальных" точек от угла. Доказательство того, что любая другая точка множества в этом случае оказывается внутренней, можете рассматривать как совсем уж простое упражнение.

Но сделал это лишь из вежливости, никакой необходимости в этом не было. Непрерывность выпуклых функций -- факт принципиальный, общеизвестный и не имеющий непосредственного отношения к поставленному вопросу -- о спрямляемости. Невозможно в рамках конкретной задачи излагать всю теорию, связанную с выпуклостью. Не следует терять ориентацию в пространстве и всегда нужно уметь вовремя остановиться.

[Oleg Zubelevich]

Доказательства, естессна, по-прежнему нет, и естесна не будет. И естесна, как только заходит речь о задаче не из Демидовича, возникает джентельменский набор "педагога со стажем": "очевидно", "тривиально", "оставляется в качестве упражнения". Так держать!

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #643945 писал(а):

Доказательства, естессна, по-прежнему нет, и естесна не будет.

имеющий уши -- да увидит (хотя смотря чьи уши, ессна)

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Пусть $C\subset \mathbb{R}^2$ -- ограниченное открытое выпуклое множество. Тогда оно является звездным относительно любой своей точки $x\in C$ в следующем смысле: всякий луч выходящий из $x$ пересекает $\partial C$ в единственной точке.

Доказательство. Предположим, что некоторый луч $\xi$, выходящий из $x$ пересекает границу $\partial C$ в двух точках $a$ и $b$. При этом точка $a$ находится между $x$ и $b$. Поскольку точка $a$ -- граничная, через нее проходит прямая $\lambda$ такая, что множество $C$ целиком лежит по одну сторону от этой прямой [ http://www.math.udel.edu/~angell/ch1.pdf p. 18 ].
Прямая $\lambda$ не может содержать луч $\xi$ поскольку $\xi$ содержит $x\in C$. Следовательно, прямая $\lambda$ пересекает $\xi$ в точке $a$. Следовательно, точки $x$ и $b$ находятся по разные стороны от $\lambda$, что тоже невозможно по построению прямой $\lambda$.

Надо еще проверить, что луч $\xi$ вообще пересечет границу. Пусть $s\ge 0$ -- координата на луче. Точка $x$ имеет координату $0$. Пусть $s'=\sup$ по координатам точек луча, которые лежат в $C$. Тогда точка луча с координатой $s'$ лежит на границе $\partial C$. Просто потому, что эта точка не содержится в $C$ и в любой ее окрестности имеются точки из $C$. ЧТД

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #644027 писал(а):

Теорема. Пусть $C\subset \mathbb{R}^2$ -- ограниченное открытое выпуклое множество. Тогда оно является звездным относительно любой своей точки $x\in C$ в следующем смысле: всякий луч выходящий из $x$ пересекает $\partial C$ в единственной точке.

Я имел в виду замкнутые выпуклые множества, для которых вопрос очевиден и которых для доказательства непрерывности параметризации и достаточно (учитывая, что граница выпуклого множества всё равно не меняется при замыкании). Но ежели Вы желаете изысков -- доказывать надо совсем не то и совсем не так.

Теорема. Пусть $C$ -- выпуклое множество. Тогда (независимо от его замкнутости, открытости или отсутствия того и другого, а также ограниченности и размерности вообще) оно является звездным относительно любой своей внутренней точки $x$ в следующем смысле: всякий луч, выходящий из $x$, или содержит только внутренние точки $C$, или пересекает $\partial C$ в единственной точке $y$. В последнем случае все точки луча, лежащие между $x$ и $y$, являются внутренними точками множества $C$.

Доказательство. Пусть для данного луча $R$ -- это супремум расстояний от точки $x$ до всех точек $C$, лежащих на луче. Любая точка $z$ на луче, расстояние от которой до $x$ меньше $R$, принадлежит $C$ (в противном случае на луче нашлась бы точка $u\in C$, удалённая от $x$ более, чем $z$, но менее, чем на $R$, и тогда на отрезке от $x$ до $u$ нарушалась бы выпуклость). Более того, такая точка $z$ является внутренней: если бы она оказалась граничной, т.е. если бы существовала последовательность $z_k\not\in C$, сходящаяся к $z$, то прямая, соединяющая точки $u$ и $z_k$, при всех достаточно больших $k$ пересекла бы окрестность точки $x$, содержащуюся в $C$, но не содержащую $z_k$. Это тоже означало бы нарушение выпуклости на отрезке от $u$ до $v$, где $v$ -- любая точка на прямой, попадающая в упомянутую окрестность.
Если же предположить, что точка $z$ на луче, расстояние от которой до $x$ больше $R$, является граничной, то существует последовательность точек $z_k\in C$, сходящаяся к $z$. Если теперь взять в качестве $u$ точку на луче, расстояние от которой до $x$ больше $R$ (и которая, следовательно, не принадлежит $C$), но расположенную при этом между $x$ и $z$, то прямая, соединяющая точки $z_k$ и $u$, при всех достаточно больших $k$ пересечёт некоторую окрестность точки $x$, содержащуюся в $C$, но не содержащую $u$. Это тоже нарушает выпуклость, но уже на отрезке от $z_k$ до любой точки $v$ на прямой, попадающей в эту окрестность.

Вот именно это и именно так следовало доказывать. Ну не буквально так, конечно; занудства я добавил исключительно из почтения к Вам. Вы же, между прочим, неаккуратны: ссылаетесь на какую-то там опорную прямую, существование которой заранее совсем не очевидно. Вы ведь ратуете за доказательство всех, буквально всех общеизвестных фактов, не так ли? -- Ну так и извольте доказать существование той опорной прямой, прежде чем на него ссылаться. Заодно можете попытаться доказать таблицу умножения.

[lyuk]

To ewert
Я думаю вы опять лукавите. Ни о какой замкнутости множества в самом начале вы не говорили. Более того, вы, скорее всего какраз подразумевали, что множество может быть не замкнутым. Ведь вы выбирали конец максимального интервала а не отрезка, лежащего внутри множества. Это во-первых.

Во-вторых, Oleg Zubelevich, фактически в предыдущем посте показал, что граница выпуклого множества не меняется при переходе к замыканию. Доказательство этого вроде бы очевидного факта не такое уж простое и свелось к геометрической форме теоремы Гана-Банаха (хоть и на плоскости). Вы же опять спекулируете и пишите об этом факте, как о тривиальном.

[ewert]

lyuk в сообщении #644711 писал(а):

Ни о какой замкнутости множества в самом начале вы не говорили. Более того, вы, скорее всего какраз подразумевали, что множество может быть не замкнутым.

Я подразумевал его именно замкнутым, и именно по той причине, что это не имеет ни малейшего значения - с точки зрения его границы.

lyuk в сообщении #644711 писал(а):

Во-вторых, Oleg Zubelevich, фактически в предыдущем посте показал, что граница выпуклого множества не меняется при переходе к замыканию.

Ничего он не показал. Он лишь так, руками поразмахивал, делая вид, что чего-то там доказал. Что, разумеется, в демократическом обществе свято: высказать утверждение, претендующее на осмысленность (а без подобных претензий попросту грантов не выйдет), далее же -- хоть трава не расти.

lyuk в сообщении #644711 писал(а):

и свелось к геометрической форме теоремы Гана-Банаха

Ганов-Банахов не бывает в принципе, бывают лишь Ханы-Банахи. И вообще, мистера: придите же в чувство. невозможно доказывать элементарные факты продвинутыми средствами. Это попросту неприлично. Если вы не понимаете, какой конкретно раздел математики относится к какой конкретно теме -- значит, вы попросту не разбираетесь в математике, и точка.

[lyuk]

У Вас Хан, а у нас Ган, поэтому я допустил опечатку. Ну да это к филологам. Хотя все равно не понимаю, почему Хан, а не Ган, но Гильберт, а не Хильберт.

А теперь по сути. Вы опять говорите о том, что замкнутость не изменяет границу выпуклого множества, как об очевидном факте. Молодца. Еще гранды приплели. И считаете возможным делать выводы о том, кто разбирается в маитематике, а кто нет. Мне лично Ваши разборки с Oleg Zubelevich (я так понял они имеют историю) абсолютно безразличны. Но я всего лишь указал Вам на недопустимую с моей точки зрения вольность: типа легко, очевидно и элементарно. Но видно зря. Вы очень-очень-очень умный и сильно-сильно-сильно заслуженый.

[ewert]

lyuk в сообщении #644784 писал(а):

Хотя все равно не понимаю, почему Хан, а не Ган,

Просто потому, что он немец (как я понимаю), да и вообще это общепринято. Где-то к тридцатым годам прошлого века у нас уже стало совершенно не в моде транскрибировать немецкие фамилии неправильно. Тем более далее. Гайзенберг счастливо проскочил этот период лишь потому, что его написание установилось гораздо раньше.

lyuk в сообщении #644784 писал(а):

Но я всего лишь указал Вам на недопустимую с моей точки зрения вольность: типа легко, очевидно и элементарно.

Вот и указали бы конкретно, что конкретно недопустимо. Лялялей же -- не надобно.

[vlad_light]

(Оффтоп)

Поздравим же с победой г-на ewert'а!!!