Теорема Гамильтона-Кэли

[captainsprklez]

Согласно теореме Гамильтона–Кэли, степень матрицы, большая либо равная степени минимального многочлена, может быть выражена через линейную комбинацию меньших степеней.

Может ли кто-то подсказать каким именно образом?

[ИСН]

Ну Вы видели когда-нибудь, например, как многочлены уголком делят?

[captainsprklez]

ИСН в сообщении #644032 писал(а):

Ну Вы видели когда-нибудь, например, как многочлены уголком делят?

Да

[ИСН]

Ну вот и поделите многочлен большей степени на свой минимальный многочлен. Тем самым Вы этот большой представите в виде (что-то)*(минимальный)+остаток...

[captainsprklez]

Каким образом это относится к исходной матрице?

[ИСН]

Таким, что все многочлены, о которых у меня идёт речь - это многочлены именно от неё.

[Утундрий]

captainsprklez в сообщении #644030 писал(а):

каким именно образом?

Если нужно только воспроизвести, то можно следующей мнемоникой:
$\[ \begin{gathered} n = 1:\hat a - \mathop A\limits_1 \hat 1 = 0 \hfill \\ n = 2:\hat a \cdot \left( {\hat a - \mathop A\limits_1 \hat 1} \right) + \mathop A\limits_2 \hat 1 = \hat a^2 - \mathop A\limits_1 \hat a + \mathop A\limits_2 \hat 1 = 0 \hfill \\ n = 3:\hat a \cdot \left( {\hat a^2 - \mathop A\limits_1 \hat a + \mathop A\limits_2 \hat 1} \right) - \mathop A\limits_3 \hat 1 = \hat a^3 - \mathop A\limits_1 \hat a^2 + \mathop A\limits_2 \hat a - \mathop A\limits_3 \hat 1 = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} \] $
Откуда рекуррентно нашпуриваются коэффициенты $\mathop A\limits_i $:
$\[ \begin{gathered} \mathop A\limits_1 = \frac{1} {1}\left( {\operatorname{Sp} \hat a} \right) \hfill \\ \mathop A\limits_2 = \frac{1} {2}\left( {\mathop A\limits_1 \cdot \operatorname{Sp} \hat a - \operatorname{Sp} \hat a^2 } \right) \hfill \\ \mathop A\limits_3 = \frac{1} {3}\left( {\mathop A\limits_2 \cdot \operatorname{Sp} \hat a - \mathop A\limits_1 \cdot \operatorname{Sp} \hat a^2 + \operatorname{Sp} \hat a^3 } \right) \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered} \] $

[ewert]

captainsprklez в сообщении #644043 писал(а):

Каким образом это относится к исходной матрице?

Для любых многочленов вообще

$\lambda^{m+k}=P_m(\lambda)\cdot Z_k(\lambda)+R_{m-1}(\lambda),$

где нижние индексы обозначают степени многочленов, за исключением того, что для $R_{m-1}$ степень может оказаться и меньше, чем $(m-1)$. Так вот: если $P_m$ -- любой аннулирующий многочлен (хотя бы и минимальный), то при подстановке в это равенство матрицы $A$ вместо лямбды первое слагаемое в правой части исчезает и остаётся только последнее, т.е. только $R_{m-1}(A)$, т.е. линейная комбинация заведомо меньших степеней.

Только я в упор не понимаю, при чём тут теорема конкретно Гамильтона-Кэли. Она ведь вроде говорит конкретно об аннулирующести характеристического многочлена, и ровно ничего -- насчёт минимальных.

[bot]

Видимо только при том, что из неё вытекает существование этого минимального.