Каким образом это относится к исходной матрице?
Для любых многочленов вообще

где нижние индексы обозначают степени многочленов, за исключением того, что для

степень может оказаться и меньше, чем

. Так вот: если

-- любой аннулирующий многочлен (хотя бы и минимальный), то при подстановке в это равенство матрицы

вместо лямбды первое слагаемое в правой части исчезает и остаётся только последнее, т.е. только

, т.е. линейная комбинация заведомо меньших степеней.
Только я в упор не понимаю, при чём тут теорема конкретно Гамильтона-Кэли. Она ведь вроде говорит конкретно об аннулирующести характеристического многочлена, и ровно ничего -- насчёт минимальных.