2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Теорема Гамильтона-Кэли
Сообщение13.11.2012, 16:10 
Согласно теореме Гамильтона–Кэли, степень матрицы, большая либо равная степени минимального многочлена, может быть выражена через линейную комбинацию меньших степеней.

Может ли кто-то подсказать каким именно образом?

 
 
 
 Re: Теорема Гамильтона-Кэли
Сообщение13.11.2012, 16:13 
Аватара пользователя
Ну Вы видели когда-нибудь, например, как многочлены уголком делят?

 
 
 
 Re: Теорема Гамильтона-Кэли
Сообщение13.11.2012, 16:16 
ИСН в сообщении #644032 писал(а):
Ну Вы видели когда-нибудь, например, как многочлены уголком делят?

Да

 
 
 
 Re: Теорема Гамильтона-Кэли
Сообщение13.11.2012, 16:25 
Аватара пользователя
Ну вот и поделите многочлен большей степени на свой минимальный многочлен. Тем самым Вы этот большой представите в виде (что-то)*(минимальный)+остаток...

 
 
 
 Re: Теорема Гамильтона-Кэли
Сообщение13.11.2012, 16:36 
Каким образом это относится к исходной матрице?

 
 
 
 Re: Теорема Гамильтона-Кэли
Сообщение13.11.2012, 16:39 
Аватара пользователя
Таким, что все многочлены, о которых у меня идёт речь - это многочлены именно от неё.

 
 
 
 Re: Теорема Гамильтона-Кэли
Сообщение14.11.2012, 01:03 
Аватара пользователя
captainsprklez в сообщении #644030 писал(а):
каким именно образом?

Если нужно только воспроизвести, то можно следующей мнемоникой:
$\[
\begin{gathered}
  n = 1:\hat a - \mathop A\limits_1 \hat 1 = 0 \hfill \\
  n = 2:\hat a \cdot \left( {\hat a - \mathop A\limits_1 \hat 1} \right) + \mathop A\limits_2 \hat 1 = \hat a^2  - \mathop A\limits_1 \hat a + \mathop A\limits_2 \hat 1 = 0 \hfill \\
  n = 3:\hat a \cdot \left( {\hat a^2  - \mathop A\limits_1 \hat a + \mathop A\limits_2 \hat 1} \right) - \mathop A\limits_3 \hat 1 = \hat a^3  - \mathop A\limits_1 \hat a^2  + \mathop A\limits_2 \hat a - \mathop A\limits_3 \hat 1 = 0 \hfill \\
  ... \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$
Откуда рекуррентно нашпуриваются коэффициенты $\mathop A\limits_i $:
$\[
\begin{gathered}
  \mathop A\limits_1  = \frac{1}
{1}\left( {\operatorname{Sp} \hat a} \right) \hfill \\
  \mathop A\limits_2  = \frac{1}
{2}\left( {\mathop A\limits_1  \cdot \operatorname{Sp} \hat a - \operatorname{Sp} \hat a^2 } \right) \hfill \\
  \mathop A\limits_3  = \frac{1}
{3}\left( {\mathop A\limits_2  \cdot \operatorname{Sp} \hat a - \mathop A\limits_1  \cdot \operatorname{Sp} \hat a^2  + \operatorname{Sp} \hat a^3 } \right) \hfill \\
  ... \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$

 
 
 
 Re: Теорема Гамильтона-Кэли
Сообщение14.11.2012, 01:42 
captainsprklez в сообщении #644043 писал(а):
Каким образом это относится к исходной матрице?

Для любых многочленов вообще

$\lambda^{m+k}=P_m(\lambda)\cdot Z_k(\lambda)+R_{m-1}(\lambda),$

где нижние индексы обозначают степени многочленов, за исключением того, что для $R_{m-1}$ степень может оказаться и меньше, чем $(m-1)$. Так вот: если $P_m$ -- любой аннулирующий многочлен (хотя бы и минимальный), то при подстановке в это равенство матрицы $A$ вместо лямбды первое слагаемое в правой части исчезает и остаётся только последнее, т.е. только $R_{m-1}(A)$, т.е. линейная комбинация заведомо меньших степеней.

Только я в упор не понимаю, при чём тут теорема конкретно Гамильтона-Кэли. Она ведь вроде говорит конкретно об аннулирующести характеристического многочлена, и ровно ничего -- насчёт минимальных.

 
 
 
 Re: Теорема Гамильтона-Кэли
Сообщение14.11.2012, 05:20 
Аватара пользователя
Видимо только при том, что из неё вытекает существование этого минимального.

 
 
 [ Сообщений: 9 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group