Разложение по некоторой системе [Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!
Пусть $h\in \mathbb{N}$, $p$ - простое число и $u_s=\dfrac{p^{s+1}-1}{p-1}$.
Представляя $h$ в форме

$$h=p_mu_m+p_{m-1}u_{m-1}+\dots+p_1u_1+p_0,$$

где $u_m$ - наибольшее $u_s$, не превосходящее $h$
$p_mu_m$ - наибольшее кратное $u_m$, не превосходящее $h$
$p_{m-1}u_{m-1}$ - наибольшее кратное $u_{m-1}$, не превосходящее $h-p_mu_m$
$p_{m-2}u_{m-2}$ - наибольшее кратное $u_{m-2}$, не превосходящее $h-p_mu_m-p_{m-1}u_{m-1}$ и т. д.

Доказать, что числа $a$ с условием, что в каноническое разложение $a!$ число $p$ входит с показателем $h$ существуют тогда и только тогда, когда все $p_m, p_{m-1}, \dots, p_1, p_0<p$, причем в этом случае $a$ суть все числа вида

$$a=p_mp^{m+1}+p_{m-1}p^{m}+\dots+p_1p^2+p_0p+p',$$

где $p'$ имеет значения: $0, 1,\dots, p-1.$

Достаточность: Если все $p_m, p_{m-1}, \dots, p_1, p_0<p$ и $a=p_mp^{m+1}+p_{m-1}p^{m}+\dots+p_1p^2+p_0p+p',$ где $p'\in \{0, 1, \dots, p-1\}$, то

$$v_p(a!)=\left[\dfrac{a}{p}\right]+\left[\dfrac{a}{p^2}\right]+\dots+\left[\dfrac{a}{p^m}\right]+\left[\dfrac{a}{p^{m+1}}\right]=$$

$$=(p_mp^m+p_{m-1}p^{m-1}+\dots+p_1p+p_0)+(p_mp^{m-1}+p_{m-1}p^{m-2}+\dots+p_2p+p_1)+\dots+(p_mp+p_{m-1})+p_m=$$

$$=p_{m}(p^{m}+\dots+p+1)+p_{m-1}(p^{m-1}+\dots+p+1)+\dots+p_{2}(p^{2}+p+1)+p_{1}(p+1)+p_0$$

$$=p_{m}u_m+p_{m-1}u_{m-1}+\dots+p_{2}u_2+p_{1}u_1+p_0=h$$

Необходимость: Разложим число $a$ по $p$ - ичной системе

$$a={q_k}p^{k+1}+{q_{k-1}}p^{k}+\dots+{q_1}p^{2}+{q_0}p+q',$$

где $0<q_k<p$ и $0\leqslant q', q_0, q_1, \dots, q_{k-1}<p$
Отсюда получаем (не буду подробно писать вычисления), что

$$h=v_p(a!)=q_ku_k+q_{k-1}u_{k-1}+\dots+q_1u_1+q_0$$

Что делать дальше? Что-то я запутался немного. Помогите пожалуйста.

С уважением, Whitaker.

[Whitaker]

Может кто-нибудь объяснить как здесь быть с необходимостью?

[Руст]

Все $q_i<p$ это и есть необходимое условие для h.

[Whitaker]

Руст
Ну то, что все $q_i<p$ это понятно.
Но ведь необходимость заключается в том, что мы должны показать, что все $p_m, p_{m-1},\dots, p_1, p_0<p$ и $p'\in\{0, 1, \dots, p-1 \}$

P.S. Виноградов пишет следующее:

Цитата:

Далее при любом $s=1, 2, \dots, m$ имеем

$$q_{s-1}u_{s-1}+q_{s-2}u_{s-2}+\dots+q_{1}u_{1}+q_{0}u_{0}<u_s$$

Поэтому последнее выражение для $h$ должно полностью совпасть с указанным в вопросе

Не понятно почему отсюда следует, что выражение $h=p_mu_m+p_{m-1}u_{m-1}+\dots+p_1u_1+p_0u_0$ полностью совпадает с выражением $h=q_ku_k+q_{k-1}u_{k-1}+\dots+q_1u_1+q_0u_0$

[RIP]

Whitaker в сообщении #644670 писал(а):

Не понятно почему отсюда следует, что выражение $h=p_mu_m+p_{m-1}u_{m-1}+\dots+p_1u_1+p_0u_0$ полностью совпадает с выражением $h=q_ku_k+q_{k-1}u_{k-1}+\dots+q_1u_1+q_0u_0$

Просто по определению. Во-первых, $u_k\le h<u_{k+1}$, $q_k u_k\le h<(q_k+1)u_k$, так что $m=k$, $p_m=q_k$. И т.д.

[Whitaker]

RIP
Благодарю Вас!
Теперь все стало на свои места и все понятно!