Количество натуральных чисел

[Someone]

dydx в сообщении #642870 писал(а):

Ну хорошо. Тогда так. В сигнатуре есть функция, которая каждому функциональному символу сопоставляет его арность.

В сигнатуре теории не может быть такой функции. Эта функция принадлежит метатеории.

[dydx]

Someone
Вы, наверное, неправильно поняли в каком смысле "в". Сигнатура - это тройка. Вот третий элемент сигнатуры и есть эта функция, о которой я говорил. Я не имел в виду, что она принадлежит теории.

Someone в сообщении #643241 писал(а):

Эта функция принадлежит метатеории.

Ну так и натуральное число $N$ тоже принадлежит метатеории. Так что, аналогия корректна.

[Someone]

dydx в сообщении #643269 писал(а):

Вы, наверное, неправильно поняли в каком смысле "в". Сигнатура - это тройка. Вот третий элемент сигнатуры и есть эта функция, о которой я говорил. Я не имел в виду, что она принадлежит теории.

Так это сигнатура чего? Вообще, кажется понял, что Вы имеете в виду.
Кстати, ссылочку на своё сообщение с определением сигнатуры дайте, пожалуйста.

dydx в сообщении #643065 писал(а):

Я думаю можно придумать такие правила образования строк, что длины строк не будут превышать заданного предела. Аналогично, как рекурсивные правила, которые не позволяют создать строки бесконечной длины.

Предъявите, пожалуйста, эти правила. И чтобы они не требовали проверки длины строк.
Рекурсивные правила позволяют создать строки любой длины, выражаемой натуральным числом.

Кстати, у Вас и логика чудовищная будет.

-- Вс ноя 11, 2012 22:31:10 --

Someone в сообщении #643294 писал(а):

Кстати, ссылочку на своё сообщение с определением сигнатуры дайте, пожалуйста.

Не надо, нашёл.

[dydx]

Someone в сообщении #643294 писал(а):

Кстати, ссылочку на своё сообщение с определением сигнатуры дайте, пожалуйста.

Зачем свое? Я в этой теме под сигнатурой понимал то, что под ней обычно понимают: тройка $(F,P,\rho)$, где $F$ - множество функциональных символов, $P$ - множество символов для предикатов, $\rho$ - функция, которая каждому элементу из $F$ и $P$ ставит в соответствие арность - неотрицательное целое число.

Someone в сообщении #643294 писал(а):

Предъявите, пожалуйста, эти правила. И чтобы они не требовали проверки длины строк.

Как только придумаю, так сразу и предъявлю.

[Lukin]

dydx в сообщении #641993 писал(а):

Откуда следует, что у каждого натурального числа (кроме нуля) должен быть предшественник?

Опровергается методом бесконечного спуска.
А вот как опровергается, например, существование неотличимых чисел $S(a)=a$ ?
Почему бы натуральному ряду не оказаться не вполне упорядоченным.
Например, возьмем пару "натуральных" рядов $N_a : a, S(a), S(S(a))…$ и $N_b : b, S(b), S(S(b))...$, можно даже записать для каждого совершенно одинаковые аксиомы, но обозначить основания разными символами.
А теперь посмотрим, равны ли эти ряды, а заодно - одни и теже ли множества "натуральных" чисел определяют совершенно одинаковые аксиомы. Просто посмотрим, как эти ряды и соответствующие аксиомы, вообще, можно объединить.
Можно, например, записать $\exists x \exists y (x \in N_a \rightarrow S(x)=b) \rightarrow (y \in N_b \rightarrow S(b)=a)$. Заметьте, в данном случае существуют и предшественники нуля и бесконечно большие натуральные числа, хотя ни одной аксиоме это не противоречит, т.к. основания разные. Это противоречит некоторым аксиомам стандартной теории множеств, но кто сказал, что натуральные числа, как они определены в данной теме, должны удовлетворять именно свойствам некоторых множеств ZF(C) ? Абсолютно не обязаны.
В общем, в свойствах, вообще, и чисел в частности, отношения, на мой взгляд, не такие "линейные" и "деревянные", как обычно пытаются представить, оттого и попытки решить в двузначной логике утверждения о некоторых свойствах натуральных чисел не удается. Даже такое простое свойство, как "следовать за…", которое в рассматриваемом случае формализовали символом $S(…)$ не такое уж и простое, как можно увидеть из предыдущего примера.
Так и свойство конечности, хоть и сложное и запутанное, но формализуется, не хуже, чем любое другое свойство или отношение, как, например, красный или больший. Вводится символ, как, например $<$ или $0$ и синтаксические правила его применения, вот и все дела.

[Jnrty]

Jnrty:

http://dxdy.ru/post643743.html#p643743