Количество натуральных чисел

[dydx]

epros в сообщении #642061 писал(а):

Мы ещё не поняли какие числа осуществимы, а уже начинаем говорить об осуществимости каких-то аксиом.

Зачем нам понимать, какие числа осуществимы?

epros в сообщении #642061 писал(а):

И про гипероператор? А про что ещё? Хотелось бы видеть конкретное множество аксиом, а не общие рассуждения о том, что "какие нужны аксиомы, такие и введём".

Хорошо. Вот те первые пять аксиом и те, что про сложение с умножением.

epros в сообщении #642061 писал(а):

Вы их по ошибке именуете натуральными.

Какой еще ошибке??? Да хоть абракадабрами. Я уже писал выше.

epros в сообщении #642061 писал(а):

Куда это исчезнут? У Вас эти слова употребляются при формулировке аксиом. А это значит, что Вам придётся перевести их на язык теории при формализации аксиоматики.

Ну просто уберите их.

epros в сообщении #642061 писал(а):

Сейчас ни в одной из теорий арифметики натуральных чисел ни в одной аксиоме ничего про конечность не сказано.

Именно потому, что "сейчас, например, под словом понимается конечное слово, под термом понимается конечный терм и т.д.". А если бы как здесь http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitary_logic , то пришлось бы говорить "конечной длины" на каждый чих (аналогично, как у меня сейчас с моим "осуществимо").

-- 09.11.2012, 15:59 --

dydx в сообщении #642067 писал(а):

А если бы как здесь http://en.wikipedia.org/wiki/Infinitary_logic , то пришлось бы говорить "конечной длины" на каждый чих (аналогично, как у меня сейчас с моим "осуществимо").

Хотя нет, не пришлось бы. Потому что

Someone в сообщении #642066 писал(а):

Даются только рекурсивные правила образования слов.

[epros]

dydx в сообщении #642067 писал(а):

Зачем нам понимать, какие числа осуществимы?

Затем, чтобы понять, о чём Вы тут нам пытались вещать и чем это отличается от обычного понимания натуральных чисел.

dydx в сообщении #642067 писал(а):

Хорошо. Вот те первые пять аксиом и те, что про сложение с умножением.

Если взять в качестве N число разумной длины, которое можно записать в помощью значков $0, S, +, \times$ и скобок, то оно заведомо окажется гораздо меньше, чем $10 \uparrow^{10} 10$. Так что получается, что при такой аксиоматике и при разумном N число $10 \uparrow^{10} 10$ заведомо "неосуществимо". Тем не менее, как видите, я легко его записал с использованием символа "стрелка вверх".

dydx в сообщении #642067 писал(а):

Какой еще ошибке???

Ошибка в том, что натуральными числами уже принято именовать нечто иное - определяемое аксиомами Пеано без всяких ограничений на "осуществимость".

dydx в сообщении #642067 писал(а):

Ну просто уберите их.

И получим аксиомы Пеано?

dydx в сообщении #642067 писал(а):

"сейчас, например, под словом понимается конечное слово, под термом понимается конечный терм и т.д."

Это не совсем точно. Дело не в том, что "понимается", а в том что при реальных доказательствах реальных теорем арифметики реально используются именно конечные строки. Но никто при этом не пытается наложить какие-то конкретные ограничения на длину этих строк. Так что никто не мешает нам считать, что в арифметике ЕСТЬ куча теорем, которые мы до сих пор не доказали только потому, что нам не хватило длины строк, с которыми мы можем работать.

[dydx]

Еще раз сначала.
Пусть $N$ - натуральное число.
Определение. Множество - это совокупность не более, чем $N$ элементов.
Определение. Кортеж - ряд элементов, длина которого не превосходит $N$.
Определение. Алфавит - множество символов.
Определение. Слово - кортеж символов.
И т.д., стандартные определения понятий терм, формула и т.п.

Дальше, тупо берем арифметику Пеано и ничего там не изменяем. Получаем арифметику, множество натуральных чисел в которой конечно.

[Someone]

dydx в сообщении #642081 писал(а):

Пусть $N$ - натуральное число.
...
Получаем арифметику, множество натуральных чисел в которой конечно.

То есть, натуральные числа должны быть определены раньше той теории, которая, по Вашему замыслу, должна их определять?

[dydx]

epros в сообщении #642078 писал(а):

Если взять в качестве N число разумной длины, которое можно записать в помощью значков $0, S, +, \times$ и скобок, то оно заведомо окажется гораздо меньше, чем $10 \uparrow^{10} 10$. Так что получается, что при такой аксиоматике и при разумном N число $10 \uparrow^{10} 10$ заведомо "неосуществимо". Тем не менее, как видите, я легко его записал с использованием символа "стрелка вверх".

Не вижу противоречия. Вы все пытаетесь так повернуть, будто я говорю о какой-то объективной ("природной", или еще какой) "осуществимости". Так вот, ничего подобного.

-- 09.11.2012, 16:17 --

Someone
Поменяйте в последнем предложении "натуральных чисел" на "абракадб".
Я уже раньше просил (и не раз) не смешивать понятия метатеории и исследуемой теории.

[epros]

dydx в сообщении #642081 писал(а):

Дальше, тупо берем арифметику Пеано и ничего там не изменяем. Получаем арифметику, множество натуральных чисел в которой конечно.

Всё у Вас шиворот на выворот. Нельзя начинать с "пусть N - натуральное число", если хотите определить арифметику Пеано. Потому что пока что у Вас понятие "натурального числа" не определено: оно именно аксиомами Пеано и определяется.

Отсюда у Вас раздвоение понятий: В первом предложении Вы апеллируете к нормальному понятию натурального числа - которое может быть сколь угодно большим. А в конечном итоге Вы хотите получить некую "конечную арифметику" - теорию заведомо несравненно более сложную, чем арифметика Пеано.

[dydx]

epros в сообщении #642089 писал(а):

Всё у Вас шиворот на выворот. Нельзя начинать с "пусть N - натуральное число", если хотите определить арифметику Пеано. Потому что пока что у Вас понятие "натурального числа" не определено: оно именно аксиомами Пеано и определяется.

Клини Математическая логика писал(а):

Итак, мы собираемся изучать логику, и притом с помощью математических методов. Но тут мы встречаемся с парадоксом: разве для того, чтобы изучать логику с помощью математики (да и вообще любым систематическим методом), нам не придется пользоваться самой логикой?
Этот парадокс решается просто, но чтобы до конца понять, как это делается, потребуется некоторое время. Основная идея здесь состоит в том, что мы будет тщательно различать логику, которую мы изучаем, и логику, с помощью которой это делается. Но тогда нам придется различать и соответствующие языки: изучаемая нами логика формулируется на некотором языке, который мы будем называть предметным языком (или языком-объектом), поскольку этот язык - так же как и связанная с ним логика - является предметом (объектом) нашего изучения. Язык же, в рамках которого мы исследуем предметный язык (употребляя при этом те логические средства, которые могут понадобиться), мы так и называем языком исследователя. Соответственно можно говорить о предметной (или объектной) логике и логике исследователя.
Необходимо все время помнить об этом различии между изучаемой (предметной) логикой и логикой как средством такого изучения (т.е. логикой исследователя). Тому, кто не готов к этому, стоит сразу же закрыть эту книгу и подыскать себе другое занятие по вкусу (скажем, составлением шарад или пчеловодством).

epros, Вам Клини советует заняться составлением шарад или пчеловодством.

-- 09.11.2012, 16:43 --

Вы же меня неправильно поняли. Небось подумали, что я пытаюсь доказать, что множество натуральных чисел конечно. Ничего подобного я не пытаюсь.

[epros]

dydx в сообщении #642092 писал(а):

epros, Вам Клини советует заняться составлением шарад или пчеловодством.

А может Вам? Это Вы путаете нормальные натуральные числа, с которыми Вы имеете дело на мета-уровне и в терминах которых определяете "конечность" строк, с тем понятием недо-натурального числа, которое Вы пытаетесь определить на уровне предметной теории.

-- Пт ноя 09, 2012 16:46:57 --

dydx в сообщении #642092 писал(а):

Небось подумали, что я пытаюсь доказать, что множество натуральных чисел конечно. Ничего подобного я не пытаюсь.

Ба, а это тогда что такое:

dydx в сообщении #642081 писал(а):

Определение. Множество - это совокупность не более, чем N элементов.

Да Вы это не просто пытаетесь доказать, а прямо-таки по определению ввели.

[dydx]

epros
Я не путаю. Я просто и то и то называю натуральными числам. И надеюсь, что мои собеседники не слепые и не тупые, и могут догадаться из контекста, где речь идет о натуральных числах метатеоретических и натуральных числах прикладной теории. Если это так сложно, то давайте называйте объекты прикладной теории абаракадабрами. Тогда уж точно не будем путаться. Все. Я утверждаю, что количество абракадабр конечно.

-- 09.11.2012, 16:53 --

epros в сообщении #642096 писал(а):

dydx в сообщении #642092 писал(а):

Небось подумали, что я пытаюсь доказать, что множество натуральных чисел конечно. Ничего подобного я не пытаюсь.

Ба, а это тогда что такое:

dydx в сообщении #642081 писал(а):

Определение. Множество - это совокупность не более, чем N элементов.

Да Вы это не просто пытаетесь доказать, а прямо-таки по определению ввели.

Оговорился (забыл просто, что я переопределил это понятие). Я хотел сказать совокупность, а не множество. Я не пытаюсь доказать, что совокупность натуральных чисел конечна (или что их конечное количество, да называейте, как хотите).

-- 09.11.2012, 16:57 --

Еще раз сначала.
Пусть $N$ - натуральное число.
Определение. Множество - это совокупность не более, чем $N$ элементов.
Определение. Кортеж - ряд элементов, длина которого не превосходит $N$.
Определение. Алфавит - множество символов.
Определение. Слово - кортеж символов.
И т.д., стандартные определения понятий терм, формула и т.п.

Дальше, тупо берем арифметику Пеано и ничего там не изменяем. Получаем теорию, количество объектов, которые будем называть абаракадабрами (чтобы всем было понятно), которой конечно.

[epros]

dydx в сообщении #642101 писал(а):

И надеюсь, что мои собеседники не слепые и не тупые, и могут догадаться из контекста, где речь идет о натуральных числах метатеоретических и натуральных числах прикладной теории. Если это так сложно, то давайте называйте объекты прикладной теории абаракадабрами.

Ну так догадались уже давным давно. И я даже предлагал Вам именовать последние "осуществимыми числами". Но Вы почему-то сопротивляетесь.

dydx в сообщении #642101 писал(а):

Я утверждаю, что количество абракадабр конечно.

Ну так очевидно, раз Вы определяете язык теории как множество предложений, длиной не более некоторого N. С учётом конечности алфавита, стало быть и множество теорем этой теории конечно.

Непонятно одно: зачем Вам нужна такая хитро-вывернутая конечная прикладная теория, если обыкновенная арифметика Пеано - несравненно проще (при всей её бесконечности)?

[dydx]

epros в сообщении #642108 писал(а):

Ну так догадались уже давным давно. И я даже предлагал Вам именовать последние "осуществимыми числами". Но Вы почему-то сопротивляетесь.

Потому что мне их удобнее называть натуральными числами. А "осуществимые числа" звучит так, будто в этой же теории сущестуют "неосуществимые числа", что, на самом деле, не так. Поэтому лучше их так не называть.

epros в сообщении #642108 писал(а):

С учётом конечности алфавита, стало быть и множество теорем этой теории конечно.

Именно.

epros в сообщении #642108 писал(а):

Непонятно одно: зачем Вам нужна такая хитро-вывернутая конечная прикладная теория, если обыкновенная арифметика Пеано - несравненно проще (при всей её бесконечности)?

Объяснял уже не раз. Есть машина. И мы никак не можем записать в нее больше информации, чем влазит. Веровать в какие-то потенциальные осуществимости нет желания. Попахивает религией.
И как это арифметика Пеано может быть "проще", если я сказал, что "берем арифметику Пеано и ничего там не изменяем"?

-- 09.11.2012, 17:26 --

Еще возражу по поводу одинаковый именований объектов теории и метатеории. Говорят везде, что предикат - это функция, а функция - это множество. А теория множеств строится поверх логики предикатов. И ни у кого ведь не возникает претензий по этому поводу. Никто не возникает, что мол понятие функции используется до ее определения.

[Someone]

А в теории предикатов функция - это не множество. Это символ такой. Для образования термов.

[dydx]

Ну хорошо. Тогда так. В сигнатуре есть функция, которая каждому функциональному символу сопоставляет его арность.

[epros]

dydx в сообщении #642112 писал(а):

И как это арифметика Пеано может быть "проще", если я сказал, что "берем арифметику Пеано и ничего там не изменяем"?

Аксиоматика не отличается, а правила формирования предложений — более сложные, ибо включают проверки на переполнение строк

[dydx]

epros в сообщении #643037 писал(а):

Аксиоматика не отличается, а правила формирования предложений — более сложные, ибо включают проверки на переполнение строк

Я думаю можно придумать такие правила образования строк, что длины строк не будут превышать заданного предела. Аналогично, как рекурсивные правила, которые не позволяют создать строки бесконечной длины.