Количество множеств

[arseniiv]

dydx в сообщении #643372 писал(а):

Здесь неявно предполагается, что $\forall a \exists c \forall b (b \in c \leftrightarrow (b \in a \lor b = a))$. Это вообще можно доказать?

Конечно. Чтобы построить $b\cup\{b\}$, строите $\{b\} \equiv \{b, b\}$ по аксиоме пары, а потом — $\{b, \{b\}\}$ по ней же. После этого по аксиоме объединения получите искомое.

[dydx]

arseniiv
Спасибо.

-- 12.11.2012, 04:11 --

Аксиома булеана: $\forall a \exists d \forall b (b \in d \leftrightarrow \forall c (c \in b \to c \in a))$.
Тут неявно предполагается, что $\forall a \exists b \forall c (c \in b \to c \in a)$.

[arseniiv]

Это ведь означает, что у всякого множества есть хотя бы одно подмножество. Очевидно, это доказуемо во всех аксиоматиках теории множеств. Просто возьмите в качестве подмножества то же самое множество.

Почему вы думаете, что оно там неявно предполагается?

[dydx]

http://en.wikipedia.org/wiki/General_set_theory
В GST, кстати, есть Axiom of Adjunction.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Ээ… и как это относится к предыдущему? (Или это просто так для информации?)

[Sonic86]

dydx в сообщении #643278 писал(а):

Но как доказать, что все подмножества натуральных чисел существуют? Для этого ведь нужно несчетное количество фомальных доказательств.

Кстати, в NBG различают множества и классы. Для множеств явно оговаривается (кажется, аксиома есть), что элементы множеств существуют. А вот элементы классов существовать не обязаны.
Как-то так. Если интересно, могу найти точную формулировку и к книжке отослать.

[dydx]

arseniiv в сообщении #643389 писал(а):

Ээ… и как это относится к предыдущему? (Или это просто так для информации?)

Это относится к доказательству существования $b \cup \{b\}$, что мы только что обсуждали. И к тому, что этой аксиомы нет в ZF, т.к. она, как Вы показали (а я сразу не допер и даже поспешил сказать, что такие вещи могут только постулироваться), выводится из других аксиом.

-- 12.11.2012, 09:23 --

arseniiv в сообщении #643384 писал(а):

Это ведь означает, что у всякого множества есть хотя бы одно подмножество. Очевидно, это доказуемо во всех аксиоматиках теории множеств. Просто возьмите в качестве подмножества то же самое множество.

Да, все верно говорите. Я просто опять неправильно выразился. Я хотел сказать, что аксиома булеана как бы предполагает, что любое подмножество любого множества существует. Но надо бы это еще доказать.

[epros]

dydx в сообщении #643415 писал(а):

Я хотел сказать, что аксиома булеана как бы предполагает, что любое подмножество любого множества существует

Что значит "любое подмножество"? Насколько я помню, схема выделения утверждает только то, что существует подмножество для любой формулы, определяющей свойство элемента.

[dydx]

epros в сообщении #643421 писал(а):

Что значит "любое подмножество"?

Я не могу понять, что тут может быть непонятно? Каждое подмножество. Все подмножества. Какое ни возьми.

epros в сообщении #643421 писал(а):

Насколько я помню, схема выделения утверждает только то, что существует подмножество для любой формулы, определяющей свойство элемента.

Да, но если количество подмножеств м-несчётно, то требуется м-несчетное количество формул $\Phi(b)$, чтобы доказать, что каждое из них существует. Но их всего м-счетное количество.

[epros]

dydx в сообщении #643426 писал(а):

Я не могу понять, что тут может быть непонятно? Каждое подмножество. Все подмножества. Какое ни возьми.

Непонятно что значит "возьми".

dydx в сообщении #643426 писал(а):

Но их всего м-счетное количество.

Ну, и дальше-то что? В теории множеств доказуема несчётность количества подмножеств $\mathbb{N}$. Однако их все невозможно определить формулами теории множеств.

[dydx]

Sonic86 в сообщении #643400 писал(а):

Кстати, в NBG различают множества и классы. Для множеств явно оговаривается (кажется, аксиома есть), что элементы множеств существуют. А вот элементы классов существовать не обязаны.
Как-то так. Если интересно, могу найти точную формулировку и к книжке отослать

Да, это интересно. Я знаю о существовании NGB и даже когда-то натыкался на полный список аксиом (помню, что их вроде как 18), но сейчас что-то у меня не получается загуглить полный список.

[Sonic86]

Мендельсон Введение в матлогику, последняя глава. Не сильно сложно.

Что-то я похоже наврал:

Мендельсон писал(а):

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.

Так что может там такого и нет...

[dydx]

epros в сообщении #643431 писал(а):

Непонятно что значит "возьми".

А другие формулировки не вызывают вопросов?

epros в сообщении #643431 писал(а):

Ну, и дальше-то что?

Значит нельзя доказать существование всех подмножеств.

epros в сообщении #643431 писал(а):

В теории множеств доказуема несчётность количества подмножеств $\mathbb{N}$. Однако их все невозможно определить формулами теории множеств.

И невозможно доказать, что они все существуют.

-- 12.11.2012, 11:19 --

(Оффтоп)

dydx в сообщении #643436 писал(а):

NGB

NBG. Вечно путаю.

-- 12.11.2012, 11:27 --

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #643439 писал(а):

Мендельсон Введение в матлогику, последняя глава.

Предпоследняя.

[dydx]

Я наверное понял.
В случае с множеством натуральных чисел, я могу возразить, что нужно доказательство, что каждое натуральное число существует. arseniiv предоставил такое доказательство. Значит все ok.
Аналогично, в случае с множество всех подмножеств натуральных чисел, я могу возразить, что нужно доказательство, что каждое подмножество натуральных чисел существует. И тут получается затык.
Проблема в том, что в первом случае мое возражение можно выразить как требование доказать какое-то высказывание теории множеств, но во втором случае мое возражение можно выразить только как требование доказать что-то, но это что-то нельзя представить в виде высказывания теории множеств.

[epros]

dydx в сообщении #643440 писал(а):

И невозможно доказать, что они все существуют.

С какой это стати? На это есть специальная аксиома, которая буквально и говорит, что "существует множество всех подмножеств".

Вопрос только в интерпретации того, что значит "всех".