Количество множеств

[dydx]

epros в сообщении #643476 писал(а):

На это есть специальная аксиома, которая буквально и говорит, что "существует множество всех подмножеств".

Так она говорит о существовании множества всех подмножеств, но не о существовании самих подмножеств. Где доказательство того, что все элементы существующего множества существуют? Откуда это следует? Дайте формальное доказательство этого.

[epros]

dydx в сообщении #643483 писал(а):

Так она говорит о существовании множества всех подмножеств, но не о существовании самих подмножеств. Где доказательство того, что все элементы существующего множества существуют? Откуда это следует?

Доказательство ЧЕГО? Какие именно подмножества должны существовать? Об этом, собственно, и был мой изначальный вопрос.

[dydx]

epros в сообщении #643486 писал(а):

Доказательство ЧЕГО?

Что для любых x и y, если y принадлежит x, то y существует.

epros в сообщении #643486 писал(а):

Какие именно подмножества должны существовать?

Все!

epros в сообщении #643486 писал(а):

Об этом, собственно, и был мой изначальный вопрос.

Так я и ответил сразу, что все.

Или Вы всё хотите чтобы я их Вам перечислил? Но я не могу перечислить несчетное количество множеств.

[epros]

dydx в сообщении #643490 писал(а):

Так я и ответил сразу, что все

Это н-е о-т-в-е-т.

dydx в сообщении #643490 писал(а):

Или Вы все хотите чтобы я их Вам перечислил?

Нет, я хочу чтобы Вы определили, что значит "любое" подмножество $\mathbb{N}$. В смысле формальной теории - это всего лишь квантор, символ такой в предложении языка. Но Вы же писали, что не уверены в том, что любое подмножество существует. Вот и укажите свою интерпретацию: какие из подмножеств (например) могут не существовать.

Я вот могу привести Вам пример подмножества $\mathbb{N}$, которое с моей точки зрения не существует. Но моя точка зрения в этом вопросе расходится с точкой зрения теории множеств.

dydx в сообщении #643490 писал(а):

Что для любых x и y, если y принадлежит x, то y существует

Кстати, попробуйте формализовать эту фразу и увидите, какая это бессмыслица.

[Someone]

dydx в сообщении #643310 писал(а):

Someone в сообщении #643290 писал(а):

Элементы существующего множества существуют по определению.

По какому такому определению?

Например, по определению предиката "$\in$". Слева и справа от него должны стоять существующие элементы.

Кстати, а как Вы понимаете это своё "элемент существует"?

dydx в сообщении #643310 писал(а):

Someone в сообщении #643290 писал(а):

Множество содержит только существующие элементы.

А если еще неизвестно, существует элемент или нет? В смысле, вот нет пока формального доказательства, что этот элемент существует. Не в том смысле, что есть формальное доказательство, что он не существует.

Причём здесь доказательство? Если некоторый объект является элементом модели нашей теории, то он существует. Если не является, то не существует. Смысл слова "существует" состоит именно в этом. Никакого доказательства здесь не требуется. Высказывание "$x\in y$" определено только для $x$ и $y$, принадлежащих модели, то есть, только для существующих элементов.

dydx в сообщении #643310 писал(а):

Someone в сообщении #643290 писал(а):

Если Вы про какой-то элемент можете доказать, что он не существует, то его ни в каком множестве нет.

А если я не могу доказать ни то, что он существует, ни то, что он не существует?

Здесь есть два существенно разных случая. Если это лично Вы не можете доказать ни того, ни другого, то, возможно, это Ваша личная проблема, и к данному элементу это никакого отношения не имеет. Если же действительно нельзя доказать ни того, ни другого, то это означает, что в одной модели указанный элемент существует (является элементом модели), а в какой-нибудь другой - не существует (не является элементом модели).
Вообще говоря, про некоторые явно определённые элементы модели можно доказать, что они существуют, и такие элементы будут существовать в любой модели; про некоторые другие можно доказать, что они не существуют, и они не будут существовать ни в какой модели; а все прочие являются факультативными, в одних моделях они есть, в других их нет.

dydx в сообщении #643310 писал(а):

Someone в сообщении #643290 писал(а):

Какие именно "все"? Предъявляйте конкретное подмножество натурального ряда, будем разбираться, существует или нет.

Инструкция: если $M$ - подмножество натурального ряда, то доказать, что оно существует. Теперь понятно?

Нет, не понятно. Вы не определили никакого конкретного подмножества натурального ряда.

dydx в сообщении #643310 писал(а):

Но мы ведь не сможем таким образом проверить каждое из этих подмножеств. Поэтому мы не можем утверждать, что каждое из них существует (или не существует).

А зачем?

dydx в сообщении #643310 писал(а):

Someone в сообщении #643290 писал(а):

Доказательства формализованной теории множеств не являются объектами самой этой теории, и она ничего не может сказать о счётности или несчётности множества доказательств.

Я не имел в виду, что формальные доказательства теории являются объектами самой этой теории, и что теория нам что-то говорит о счетности или несчетности множества доказательств. Зато это может сказать метатеория. Не надо путать понятие счетности (несчетности) метатеории и теории в моих высказываниях. Если это так сложно, то давайте будем говорить м-счетность (м-несчетность) для понятия счетности (несчетности) в метатеории.

Я не путаю. А Вы путаете, иначе у Вас не было бы вопроса о том, почему для доказательства существования несчётного множества элементов может быть достаточно счётного множества доказательств. На самом деле утверждение о несчётности множества подмножеств натурального ряда требует только одного доказательства: что для любого отображения натурального ряда в множество его подмножеств найдётся подмножество, которое не соответствует никакому натуральному числу.

Sonic86 в сообщении #643400 писал(а):

dydx в сообщении #643278 писал(а):

Но как доказать, что все подмножества натуральных чисел существуют? Для этого ведь нужно несчетное количество фомальных доказательств.

Кстати, в NBG различают множества и классы. Для множеств явно оговаривается (кажется, аксиома есть), что элементы множеств существуют. А вот элементы классов существовать не обязаны.
Как-то так. Если интересно, могу найти точную формулировку и к книжке отослать.

Нет, совсем не так. Объектами NBG являются классы. Множество определяется как класс, который является элементом какого-нибудь класса. Все элементы любого класса, естественно, существуют. В том смысле, что принадлежат модели теории.

dydx в сообщении #643426 писал(а):

epros в сообщении #643421 писал(а):

Что значит "любое подмножество"?

Я не могу понять, что тут может быть непонятно? Каждое подмножество. Все подмножества. Какое ни возьми.

Какое "каждое"? Вы о чём говорите? Может быть, Вы воображаете, что множество подмножеств натурального ряда - одно и то же во всех моделях? Кстати, и сам-то натуральный ряд в разных моделях может быть разным. Вплоть до того, что может не быть ни одного общего элемента.

dydx в сообщении #643426 писал(а):

epros в сообщении #643421 писал(а):

Насколько я помню, схема выделения утверждает только то, что существует подмножество для любой формулы, определяющей свойство элемента.

Да, но если количество подмножеств м-несчётно, то требуется м-несчетное количество формул $\Phi(b)$, чтобы доказать, что каждое из них существует. Но их всего м-счетное количество.

Ничего подобного. Вовсе не каждое подмножество натурального ряда можно определить какой-нибудь формулой. И доказывать существование подмножеств натурального ряда тоже не надо. Они существуют уже потому, что они есть в модели. Те, которые в ней есть. А которых в ней нет - не существуют. И, как я уже писал по другому поводу, в разных моделях подмножества натурального ряда могут быть разными.
Доказывать существование надо в другой ситуации: если речь идёт не просто о подмножестве натурального ряда, а о подмножестве, удовлетворяющем какому-нибудь условию.

dydx в сообщении #643468 писал(а):

Проблема в том, что в первом случае мое возражение можно выразить как требование доказать какое-то высказывание теории множеств, но во втором случае мое возражение можно выразить только как требование доказать что-то, но это что-то нельзя представить в виде высказывания теории множеств.

То есть, Ваше требование является бессмысленным.

[dydx]

Someone в сообщении #643503 писал(а):

Например, по определению предиката "$\in$". Слева и справа от него должны стоять существующие элементы.

$\in$ - это всего-лишь символ для образования атомов. То, во что мы его интерпретируем, к теории отношения не имеет.

Someone в сообщении #643503 писал(а):

Кстати, а как Вы понимаете это своё "элемент существует"?

Элемент существует, если есть формальное доказательство высказывания в котором утверждается, что он существует.

Someone в сообщении #643503 писал(а):

Если некоторый объект является элементом модели нашей теории, то он существует.

Т.е. Вы утверждаете, что мы множества интерпретируем в м-множества, и т.к. из существования м-множества следует, что все его м-элементы существуют, то поэтому, если множество существует, то его элементы существуют (по определению).

(Оффтоп)

На остальное чуть позже отвечу.

[Someone]

dydx в сообщении #643581 писал(а):

$\in$ - это всего-лишь символ для образования атомов. То, во что мы его интерпретируем, к теории отношения не имеет.

Это очень интересно. Оказывается, модель формальной теории к ней отношения не имеет.

dydx в сообщении #643581 писал(а):

Элемент существует, если есть формальное доказательство высказывания в котором утверждается, что он существует.

Полная чушь.
Например: существует ли в ZFC множество, мощность которого больше $\aleph_0$ и меньше $2^{\aleph_0}$? Оказывается, может быть так, что существует (без всякого доказательства), а может быть так, что не существует (тоже без всякого доказательства).
Вообще, такое понимание существования, как у Вас, чрезвычайно нестандартно и противоречит общепринятому.

dydx в сообщении #643581 писал(а):

Т.е. Вы утверждаете, что мы множества интерпретируем в м-множества

Нет, не утверждаю. Я вообще не говорил, что модель имеет какое-то отношение к метатеории. Хотя метатеория, если она достаточно мощная, может использоваться для построения модели.

Вообще, я сначала предполагал, что Вы дурью маетесь, то есть, придумали себе несуществующую проблему, и теперь никак её не можете разрешить. Теперь я склонен согласиться с тем, что пишет bot:

bot в сообщении #643675 писал(а):

Поведение типичное для тролля обыкновенного - определения знает, но сознательно их перевирает, провоцируя дискуссию на ровном месте.

[dydx]

Someone в сообщении #643503 писал(а):

А зачем?

Чтобы не было парадокса, когда доказательство существования множества есть, а доказательства существования каждого из его подмножеств - нет.

Someone в сообщении #643503 писал(а):

На самом деле утверждение о несчётности множества подмножеств натурального ряда требует только одного доказательства: что для любого отображения натурального ряда в множество его подмножеств найдётся подмножество, которое не соответствует никакому натуральному числу.

Да какое вообще имеет отношение доказательство несчетности какого-то множества к существованию его элементов?

Someone в сообщении #643503 писал(а):

Какое "каждое"? Вы о чём говорите? Может быть, Вы воображаете, что множество подмножеств натурального ряда - одно и то же во всех моделях?

Да я вообще ни о каких моделях ничего не говорил.

Someone в сообщении #643503 писал(а):

Вовсе не каждое подмножество натурального ряда можно определить какой-нибудь формулой.

Да, согласен. Поэтому мы и не можем доказать их существование.

Someone в сообщении #643503 писал(а):

То есть, Ваше требование является бессмысленным.

Но почему так получается, что для счетных множеств оно осмысленно, а для несчетных - нет? А может не вопросы бессмысленны, а теория кривая?

[Someone]

dydx в сообщении #643718 писал(а):

тобы не было парадокса, когда доказательство существования множества есть, а доказательства существования каждого из его подмножеств - нет.

А нету тут никакого парадокса. Множество может прекрасно оказаться пустым, если его элементы (определённые какими-то условиями) не существуют. Не существуют в том смысле, что в модели их нет.

dydx в сообщении #643718 писал(а):

Да я вообще ни о каких моделях ничего не говорил.

Мало ли, о чём Вы не говорили.

dydx в сообщении #643718 писал(а):

Да, согласен. Поэтому мы и не можем доказать их существование.

И не надо.

dydx в сообщении #643718 писал(а):

Но почему так получается, что для счетных множеств оно осмысленно, а для несчетных - нет?

А для счётных множеств оно точно такое же бессмысленное. И даже для конечных. И даже для множества из одного элемента.

[dydx]

Someone в сообщении #643700 писал(а):

Оказывается, модель формальной теории к ней отношения не имеет.

Нет, я неправильно сказал: то, о чем мы тут говорим, не требует ковыряния в семантике.

Someone в сообщении #643700 писал(а):

Например: существует ли в ZFC множество, мощность которого больше и меньше ? Оказывается, может быть так, что существует (без всякого доказательства), а может быть так, что не существует (тоже без всякого доказательства).

А почему Вы неправильно построили отрицание моего высказывания? Оно не утверждает, что если нету формального доказательства существования множества, то оно не существует.

Someone в сообщении #643700 писал(а):

Вообще, такое понимание существования, как у Вас, чрезвычайно нестандартно и противоречит общепринятому.

Может быть. И что?

Someone в сообщении #643700 писал(а):

Нет, не утверждаю. Я вообще не говорил, что модель имеет какое-то отношение к метатеории.

Там м- означает, что речь идет об объекте модели.

Someone в сообщении #643700 писал(а):

Вообще, я сначала предполагал, что Вы дурью маетесь, то есть, придумали себе несуществующую проблему, и теперь никак её не можете разрешить. Теперь я склонен согласиться с тем, что пишет bot:

На самом деле, скорее первое, чем второе. Троллингом от меня может веять, потому что много сидел на анонимных форумах, а там, сами понимаете, троллинг на троллинге и троллингом погоняет.

(Оффтоп)

А еще у мне OCD, очень остро реагирую на критику, постоянно моделирую в своей голове возможные мысли других людей обо мне, все время недоволен собой и еще очень много чего. И это практически не лечится и я ничего не могу изменить. А еще, хочу передать привет моему другу Михаилу.

[Jnrty]

Jnrty:

http://dxdy.ru/post643743.html#p643743

dydx в сообщении #643736 писал(а):

Someone в сообщении #643700 писал(а):

Нет, не утверждаю. Я вообще не говорил, что модель имеет какое-то отношение к метатеории.

Там м- означает, что речь идет об объекте модели.

Ага. Сначала Вы определили префикс "м" как указание на метатеорию. А теперь решили, что надо задним числом изменить толкование.
Типичный приём для тролля.