Найти предел

[Sonic86]

$$\lim\limits_{x\to\infty}\sum\limits_{p\leqslant\sqrt[4]{x}}\frac{\ln x}{p^2\ln x/p^2}$$

[Руст]

Это стремится к константе $\sum_p \frac{1}{p^2}$ (нечто типа $\zeta(2)$ только суммирование по простым).

[ex-math]

Совершенно верно. Например, можно добавить и вычесть $2\ln p$ в числителе. Спасает то, что в заданном диапазоне изменения $p$ имеем $\ln x/p^2\gg\ln x$.

[Sonic86]

Что-то не получается Численно при $x=10^{36}$ предел получается $0,4646$, а $\sum\limits_{p}\frac{1}{p^2}=0,4522$. Ну может падает медленно...

Сумма $\sum\limits_{x^{a-\epsilon}<p\leqslant x^a}\frac{\ln x}{p^2\ln x/p^2}$ лежит в пределах $\frac{S}{1-2a-2\epsilon}$ и $\frac{S}{1-2a}$, $S=\sum\limits_{x^{a-\epsilon}<p\leqslant x^a}\frac{1}{p^2}$. Только что это дает, не понимаю.
А величина $\frac{\ln x}{\ln x/p^2}\in[1;2]$ - просто ограничена.

[ex-math]

Ошибка порядка $1/\ln x$, так что $10^{36}$ --- это несерьезно.

[Sonic86]

Ааа, я понял!
С одной стороны, ясно, что предел $L\geqslant S$. С другой стороны, ограничиваясь $p\leqslant M$, мы можем подобрать такое достаточно большое $x$, что $\frac{1}{p^2}\frac{\ln x}{\ln x/p^2}\leqslant\frac{1}{p^2}(1+\epsilon)$ для любого $\epsilon >0$, т.е. исходная функция будет отличаться от $S$ на сколь угодно малый $\epsilon$. А ряд $\sum\limits_p\frac{1}{p^2}$ сходится абсолютно, значит и сумма в нему сходится.
Все А простые числа вообще не при чем.
Руст, ex-math, спасибо!

З.Ы.

ex-math в сообщении #642920 писал(а):

Ошибка порядка $1/\ln x$

Может и такая...