От какого начального условия?..
Общее решение - это заготовка для решения задачи Коши. Как она ставится, знаете? Вот там и есть начальное условие

.
Путём переобозначения константы записываем

в виде

и, свернув сумму логарифмов в логарифм произведения, получаем

. Теперь раздеваем икса, а константу освобождаем от обязанности быть положительной - пущай они теперь под логарифмом сами договариваются о синхронности своих знаков. Вот так и возникает

вместо исходного

.
В точке

(коль скоро икс появился под логарифмом) нарушается единственность решения задачи Коши, то есть в такой точке задача ставиться не будет и таким образом в конкретной задаче икс будет иметь определённый знак - вот тот же самый знак, волей-неволей, придётся иметь и константе.