Степени свободы

[Xey]

Victor Ananyev в сообщении #641929 писал(а):

А задать систему, я считаю, это то же самое, что знать положение каждой точки.

Надо знать положение системы (которое определяется углом или смещением) в любой момент времени, решение ДУ и должно это прояснить.

Но мне кажется, это выходит за рамки определения степеней свобод.

[Munin]

Victor Ananyev в сообщении #641932 писал(а):

Значит количество диф. уравнений 2-го порядка должно совпадать с количеством степеней свободы, так?

Ну, грубо говоря, да.

[Victor Ananyev]

Это клево, теперь ясно как их считать. А что такое степень свободы? Есть точное определение степени свободы системы?

[Munin]

Представьте себе пространство всех обобщённых координат. В этом пространстве система из-за существующих в ней связей (выше я говорил о них как об алгебраических уравнениях) может двигаться не по всему пространству, а в общем случае по подпространству меньшей размерности. Его называют конфигурационным многообразием. Вот размерность этого подпространства и есть число степеней свободы, а введённые на нём координаты - сами степени свободы.

[Victor Ananyev]

Да, понятно теперь) спасибо за разъяснения!

[Xey]

Victor Ananyev в сообщении #642229 писал(а):

Да, понятно теперь

Выше я пытался описать устройство посложнее.
В принципе это маятник Максвелла помещенный в коробочку . А сама коробочка подвешенана пружинке. Можно запустить маятник в коробочке , а можно раскачать коробочку на пружинке. Можно и то и другое.
Координаты останутся прежними перемещение по вертикали и вращение .
А сколько будет степеней свободы?

[Victor Ananyev]

Я думаю, что две. Не могу строго объяснить почему так, но у меня есть чувство, что при даной ампитуде например пружинки, маятник может себя вести по разному. Строго записать систему у меня как то не получается..

[Munin]

Не будем приводить описанную конструкцию в движение, а просто будем шевелить её руками. Можем мы задавать разный угол намотки $\varphi,$ не меняя степени растяжения пружинки? Можем. Можем мы менять степень растяжения пружинки, не меняя угла намотки маятника? Можем. Получается, конфигурационное пространство двумерное. Начальные условия мы можем задать как любую точку в этом двумерном пространстве, и любую производную этой точки по времени (начальную скорость). А дальше как она уже будет эволюционировать - от уравнений движения зависит.

Дальнейший анализ движения может показать, что при заданных начальных условиях точка движется не по всему конфигурационному многообразию, а только по его подмножеству. Тогда это называется, что в системе есть закон сохранения, а математически - интеграл движения $F(q)=\mathrm{const}.$ Такое свойство приближает к окончательному решению задачи движения - интегрированию, потому что часто интегралы движения можно найти раньше, чем задача будет полностью решена, и упростить тем самым исходную задачу. Но поскольку начальные условия всё равно можно выбирать любые на конфигурационном многообразии, то интегралы движения не означают уменьшения степеней свободы.