Степени свободы

[Victor Ananyev]

Здравствуйте! После долгих поисков по интернетам, решил все же написать сюда, ибо в сети не наткнулсяни на одно определения степени свободы. Все пишут что их число равно количеству независимых координат. Это все ясно, но что же такое степени свободы?

* Что бы дискуссия не была беспочвенной, конкретный пример: сколько степеней свободы у маятника Максвелла? Одна? А выйдет одним уравнением выразить состояние системы?

[Munin]

Victor Ananyev в сообщении #641050 писал(а):

А выйдет одним уравнением выразить состояние системы?

А вы попробуйте.

[мат-ламер]

Victor Ananyev в сообщении #641050 писал(а):

А выйдет одним уравнением выразить состояние системы?

А, допустим, и двумя. Ну и что?

[Xey]

Victor Ananyev в сообщении #641050 писал(а):

но что же такое степени свободы?

Неужели в сети нет?
Мне кажется это возможность системы изменять одни параметры не меняя при этом других.
В Вашем примере , если вращать маховик, то он будет и перемещаться вверх в низ, т.е. у маятника одна степень ( если конечно не считать , что его можно раскачиватьв двух плоскостях , перекручивать веревочки и перемещать основание по его степеням свободы).

[мат-ламер]

Xey в сообщении #641263 писал(а):

Мне кажется это возможность системы изменять одни параметры не меняя при этом других.

Не совсем так. Другие параметры тоже меняются. Но их можно вычислить, исходя из первых параметров. Мне кажется, что это понятие связано с понятием размерности многообразия.

[Victor Ananyev]

Опять же, размерность многообразия — число, а значит с ней, в принципе, можно попробовать связать количество независимых координат. Вот а степени свободы, это вроде базиса что то...

А про уравнения.. да, возможно вы правы, и количество уравнений не должно соответствовать количеству степеней свободы.

[Xey]

мат-ламер в сообщении #641269 писал(а):

Не совсем так. Другие параметры тоже меняются. Но их можно вычислить, исходя из первых параметров.

Конечнго, взаимное влияние возможно. Но главное свобода , можно свободно менять параметр независимо от других параметров, даже если он может сам меняться от воздействия этих других.
Например, можно добавить вторую степень свободы, закрепив перекладину , к которой привязаны веревочки маятника Максвелла, на пружине.
1) Можно будет запустить только маятник Максвелла . При этом маятник будет раскачивать перекладину. (Это то самое "другие параметры тоже меняются").
2)Мы совершенно свободно можем запустить и колебание перекладины, дернув ее вниз, и маятник Максвелла. В этом случае будет взаимное влияние.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #641269 писал(а):

Мне кажется, что это понятие связано с понятием размерности многообразия.

Да, оно и связано. Арнольд, книжка по механике.

Victor Ananyev в сообщении #641369 писал(а):

А про уравнения.. да, возможно вы правы, и количество уравнений не должно соответствовать количеству степеней свободы.

В принципе, уравнений может быть больше. Но тогда некоторые можно исключить. Но вы не ответили, так и не попытались описать предложенную вами систему одним уравнением.

[Victor Ananyev]

Попытался.. и вышло 1, но векторное. То есть любую точку твердого тела я описал, но 2 функциями от времени. Могу предоставить решение, вот:
$2{\sin\left(\frac{\frac{3t^2}{2}+\varphi _0}{2}\right)}^2 , \left(-3\frac{t^2}{2}+\varphi _0+ \sin\left(3 \frac{t^2}{2}+\varphi _0\right)\right)$

Вот. как бы зачеркнуть ни одно нельзя, но они связаны тем, что точки лежат на одной окружности, а значит по х определяется у. Но тогда будет траектория, но не будет динамики.. Арнольда почитаю еще..

[Munin]

Похоже, вы путаете понятие уравнения движения и его решения. Вы привели решение в виде некоторых $f(t),g(t),$ а надо найти такое уравнение, которое бы позволяло их искать, типа $F(f,\dot{f},\ddot{f})=0.$ При этом вторая функция может не требовать решения отдельного дифура, а выражаться через первую алгебраически: $g=g(f).$

[Victor Ananyev]

Упс, и правда путаю..
$m g R = I \ddot \varphi$
$l = (\varphi - \varphi_0) R$
Это то из чего я исходил. Тут 2 уравнения, и они задают систему. Не могу свести к одному.

[Munin]

Второе уравнение алгебраическое. Выразив одну переменную через другую, вы можете подставить их в первое уравнение.

[Victor Ananyev]

ок, получу угол. но накрученный угол не дает мне ничего про пространственное расположение точки, только через второе уравнение. Значит, что бы задать положение точки в пространстве, не достаточно подставить второе уравнение в первое и забить. А задать систему, я считаю, это то же самое, что знать положение каждой точки.

[Munin]

Victor Ananyev в сообщении #641929 писал(а):

ок, получу угол. но накрученный угол не дает мне ничего про пространственное расположение точки

Ну и что? Всё движение системы определяется исключительно движением угла! Все остальные переменные - "довесок", на движение системы никак не влияют, а только определяются тем, как повёл себя угол. (Разумеется, выразить всё можно и не через угол.)

Victor Ananyev в сообщении #641929 писал(а):

Значит, что бы задать положение точки в пространстве, не достаточно подставить второе уравнение в первое и забить. А задать систему, я считаю, это то же самое, что знать положение каждой точки.

Тогда вам надо было бы задать бесконечное число переменных, для положения каждого атома. А вот учёные, сформулировавшие теоретическую механику, считали, что задать систему, это то же самое, что знать существенные переменные, которые определяют её движение. Только те, которые входят в дифференциальное уравнение движения. А те, которые выражаются из них алгебраически - для исследования движения несущественны.

[Victor Ananyev]

Значит количество диф. уравнений 2-го порядка должно совпадать с количеством степеней свободы, так?