О некоторых свойствах абсолютно непрерывных функций

[Evgenii2012]

Недавно нашёл такую задачу. Предположим, что в определении абсолютно непрерывной функции на отрезке берутся не только непересекающиеся интервалы, но и пересекающиеся, в том числе. Т.е., для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta=\delta(\varepsilon):$ для любой системы интервалов $(a_i, b_i),$ $i=1,\ldots, n,$ суммарной длины меньше $\delta$ имеет место соотношение $\sum\limits_{i=1}^n|f(b_i)-f(a_i)|<\varepsilon.$ Показать, что функция $f$ является липшицевой.

Обсуждение с коллегами ни к чему ни привело. (Ясно, что если интервалы непересекающиеся, то это неверно). Если кто-либо знаком с решением, пожалуйста, подскажите.

[ИСН]

1. Возьмём какие-нибудь одни $\varepsilon$ и $\delta$.
2. Теперь для любого интервала, который меньше $\delta$, липшицевость (в чём, кстати, она состоит?) доказывается путём многократного взятия этого интервала и запихивания его в это Ваше определение хитрой непрерывности.
3. Константа, фигурирующая в определении липшицевости, будет зависеть от величин, выбранных в п.1. Но это ничего: мы же их выбрали один раз.
4. Что осталось?

[ewert]

ИСН в сообщении #641997 писал(а):

4. Что осталось?

Чуть-чуть побороться с $n$ и $n+1$.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за сообщения. Однако, кое-что осталось неясным по пункту 2). Дело в том, что мы не можем так просто выбрать один и тот же интервал в качестве системы интервалов, поскольку, даже если $(b_{i_0}-a_{i_0})<\delta,$ $i_0\in 1,\ldots, n,$ то, вообще говоря, $\sum\limits_{i=1}^n (b_i-a_i)\ge\delta.$ Если можно, подробнее опишите последовательность рассуждений пункта 2. Как именно мы получаем нужную оценку многократным взятием одного и того же интервала ? (Липшицевость понимается стандартно: $|f(x)-f(y)|\le C|x-y|$ для всех $x, y\in [a, b].$)

-- 09.11.2012, 13:59 --

Немного поправлюсь: я имел в виду, что из условия $b_{i_0}-a_{i_0}<\delta,$ вообще говоря, не следует, что
$\sum\limits_{i=1}^n (b_{i_0}-a_{i_0})=n(b_{i_0}-a_{i_0})<\delta$ (у меня сомнения по поводу возможности многократного взятия одного и того же интервала).

[ИСН]

Так это смотря какое n выбрать.

[Evgenii2012]

Пока не очень понятно. Вы не могли бы подробней по п.2 ? Заранее благодарен.

[ИСН]

Мы будем брать интервал столько раз, чтобы суммарная длина оказалась меньше $\delta$.

[Evgenii2012]

При фиксированном $\varepsilon$ и $\delta$ вполне может оказаться, что $n=1.$ Как мы дальше рассуждаем ?

[ИСН]

Тривиально: в каких пределах должна быть разность аргументов, чтобы мы попали в такую ситуацию? А чем при этом ограничена разность значений? И какую, значит, липшицевскую константу достаточно взять?

[Evgenii2012]

Если я нигде не ошибся, константа Липшица в этом случае равна $\frac{2\varepsilon}{\delta}.$
Подтвердите, если не ошибся. Большое спасибо за ответ, как говорится, смотрел, но в упор не видел :))

[ИСН]

Ага, вроде так. Остальные шаги понятны?

[Evgenii2012]

После сделанных мне Вами подсказок, картина представляется мне следующей. Каковы бы не были $x, y,$ $|x-y|<\delta, $ существует число $n$ (строго говоря, зависящее от $x, y$) такое, что $\delta/(n+1)<|x-y|<\delta/n.$ Тогда мы имеем право взять в качестве системы интервалов один и тот же отрезок $[x, y].$ Применяя в лоб определение абсолютной непрерывности к этому отрезку, мы получаем $|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon (n+1)}{\delta n}|x-y|.$ Осталось заметить, что последовательность $(n+1)/n ограничена при $n\rightarrow \infty.$ Уважаемый ИСН, если логика рассуждений правильная, пожалуйста, подтвердите. Большое спасибо !

[ИСН]

Как-то так. Теперь закруглить словами вроде "таким образом, их всех мы можем нахлобучить одной и той же липшицевой константой", и что-то сделать с теми, у которых разность больше дельты.

[Evgenii2012]

Ещё раз, спасибо. У меня есть ещё один вопрос, который хотел бы обсудить в этой теме. Это касается функции скачков: для произвольной последовательности $x_k$ и последовательности положительных чисел $h_k$ построим функцию скачков $f(x):=\sum\limits_{x_k<x}h_k.$

Вопрос: что можно сказать о множестве значений функции скачков (счётно, не счётно, континуум ) ? Буду благодарен за ответ.

[ИСН]

Для начала скажите, из скольких элементов может состоять та произвольная последовательность.