О некоторых свойствах абсолютно непрерывных функций

[Evgenii2012]

Обе последовательности -- и $x_k,$ и $h_k$ -- счётные: каждому натуральному $k$ соответствует один и только один элемент последовательности. Как частный случай, может быть конечное число элементов, но тогда ответ очевиден.

[ИСН]

Ну а когда счётные, не очевиден разве? Континуум-то уже никак не сделать, правда же?

[Evgenii2012]

К сожалению, не очевидно. Например, рациональные числа, как известно, можно занумеровать в последовательность. Однако, ряд, состоящий из рациональных чисел, вполне может сходиться к иррациональному числу. В нашем случае функция скачков также может образовывать такие последовательности. Обратите внимание, что последовательность $x_k$ не предполагается монотонной.

[ИСН]

так-так-так

-- Пт, 2012-11-09, 19:00 --

чёрт
всё можно, что ли? воруй, убивай, души гусей?

-- Пт, 2012-11-09, 19:01 --

ну, возьмём $x_k$ - все рациональные числа, занумерованные в каком-нибудь порядке, а $h_k$ - любой сходящийся ряд. $1\over2^k$ сгодится. Щас подумаю, что из этого выйдет.

[Evgenii2012]

К сожалению, я пока не нашёл убедительного доказательства, что множество значений этой функции -- счётно. Есть подозрение, что это так, но ответ может быть и отрицательным. В случае монотонной последовательности $x_k,$ без сомнения, это так.

-- 09.11.2012, 17:10 --

Вот-вот, я как раз и думаю по поводу именно этой последовательности.

[ИСН]

давайте зайдём поглубже в тупик.
Между любыми двумя разными числами есть рациональное. Значит, у этих чисел и значения функции разные. Значит, функция строго монотонна, без площадок. Значит, что же, это... биекция, так выходит? Значит, континуум...

[Evgenii2012]

Большое спасибо за ответ. Я так сразу не вижу, почему для разных рациональных чисел значения разные, видимо, это следует из определения, но, во всяком случае, выглядит вполне правдободобно. Ваш ответ надо как следует проанализировать. Ещё раз, спасибо за активное участие ! Ещё маюсь с третьей задачей, и если в течение какого-то времени не решу сам, напишу на форуме чуть позже.

[ИСН]

Ну дак между двумя рациональными числами (как и между любыми другими) есть какие-то рациональные числа? Вот за счёт них и будет разница.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за абсолютно правильное мнение по поводу задачи. Сомнений нет.