Интересный интегральчик

[Farry]

Помогите посчитать интеграл $\int_0^{\infty}(\sin^3(mx)/x^2)dx$, m - константа

[ИСН]

Тут надо как-то многократно сливать, разводить лохов и дифференцировать по параметру, пока не проступят знакомые черты.

[Pphantom]

Он элементарной заменой $y=mx$ приводится к виду

$$m \cdot \int\limits_0^\infty \frac{\sin^3 y}{y^2}\, dy,$$

после чего оставшийся интеграл (который есть некое число) тупо считается численно.

Чтобы считать было проще, оставшийся интеграл можно разбить на два, на $[0;1]$ и $[1,\infty]$, а затем второй заменой $z=1/y$ свести к виду

$$\int\limits_0^1 \sin^3 (1/z)\, dz.$$

Оба, конечно, не подарок, но несколько верных знаков можно получить даже банальным методом прямоугольников без какой-либо регуляризации и т.п. В итоге получится $m \cdot 0.82396\dots$

[ИСН]

Кому надо считать численно то, что считается точно?

[Pphantom]

ИСН в сообщении #641837 писал(а):

Кому надо считать численно то, что считается точно?

А кому нужно считать точно то, что является одним числом, которое практически наверняка нужно знать с некоторой конечной точностью? Не говоря уж о затратах времени в обоих случаях...

[Dan B-Yallay]

Pphantom в сообщении #641846 писал(а):

А кому нужно считать точно то, что является одним числом, которое практически наверняка нужно знать с некоторой конечной точностью?

А Вы надо полагать, знаете порядок числа М, и поэтому знаете нужную погрешность для интеграла?

[Pphantom]

Dan B-Yallay в сообщении #641849 писал(а):

А Вы надо полагать, знаете порядок числа М, и поэтому знаете нужную погрешность для интеграла?

А каким образом число $m$ влияет на необходимую точность вычисления интеграла (из которого $m$ уже убрано)?

P.S. Кстати, никому не кажется, что претензии к предложенному мной способу решения задачи "посчитать интеграл" (не являющиеся указаниями на ошибки) будут уместны в том случае, когда кто-нибудь реализует другой способ?

[Farry]

Меня интересует именно аналитическое решение. А что касается этого разбиения на 2 интеграла, я сам дошел до него, но ни первый ни второй интеграл аналитически посчитать не удалось.

[Slip]

$\int\limitx_0^\infty\frac{\sin^3 mx}{x^2}\,dx=-\int\limits_0^\infty\sin^3mxd\left(\frac1x\right)=-\left.\frac{\sin^3mx}{x}\right|_0^\infty+\int\limits_0^\infty\frac{3m\sin^2mx\cos mx}{x}\,dx=\frac{3m}4\int\limits_0^\infty\frac{2\sin 2mx\sin mx}{x}\,dx=\frac{3m}{4}\int\limits_0^\infty\frac{\cos mx-\cos 3mx}{x}\,dx=\frac{3m}{4}\ln 3$
последнее равенство - интеграл Фруллани.

Toucan:

См. post641891.html#p641891

[nnosipov]

Farry в сообщении #641856 писал(а):

Меня интересует именно аналитическое решение.

Проинтегрируйте по частям, а потом прочитайте где-нибудь про формулу Фруллани.

[Pphantom]

Farry в сообщении #641856 писал(а):

Меня интересует именно аналитическое решение.

А сказать?

Ну вот, аналитическое уже тоже написали. Хотя, как оказалось, мое программное творчество в несколько строчек, сотворенное минуты за полторы, 7 правильных знаков таки дало.

[ИСН]

Pphantom, это раздел по математике, а не по программированию. Здесь по умолчанию спрашивают всё аналитическое.
Я, кстати, был неправ в своём подходе (мне казалось, там как-нибудь вылезет $\pi$), но прав в методологии. Вы - наоборот.

[Toucan]

Slip в сообщении #641861 писал(а):

...
последнее равенство - интеграл Фруллани

Slip, замечание за размещение полного решения учебной задачи.

[Pphantom]

ИСН в сообщении #641889 писал(а):

это раздел по математике, а не по программированию. Здесь по умолчанию спрашивают всё аналитическое.

Хм... да, пожалуй. Эта соображение мне в голову не пришло; сработала привычка, что "сосчитать" (в отличие от "взять") - это получить численный результат.

ИСН в сообщении #641889 писал(а):

Я, кстати, был неправ в своём подходе (мне казалось, там как-нибудь вылезет $\pi$), но прав в методологии. Вы - наоборот.

А вот тут не соглашусь. В математике такая задача сейчас возникнуть наверняка не может (разве что она действительно учебная), а для приложений численный счет ничем не хуже аналитического. Да, если интеграл существенно завязан на неизвестный параметр, других вариантов, кроме аналитики, практически нет, но тут все сводится к коэффициенту перед $m$, единственное разумное условие на метод получения которого - обеспечение необходимой точности. То, что задачу нужно решать не любым способом, а неким определенным, надо было, вообще говоря, оговаривать в условии (хотя тематику ветки форума, пожалуй, такой оговоркой действительно можно счесть).

[ИСН]

Естественно, учебная, какая же ещё. Весь раздел набит учебными задачами. Будь она прикладная, тогда да - Ваше наблюдение, что параметр можно отвязать, решает вопрос в этом смысле.