Alaev писал(а):
Я думаю, Вы как-то неудачно формулируете - ZFC является строгой логической теорией, и как только в ней найдётся хотя бы одно противоречие, она рухнет вся. Именно это случилось с Канторовской теорией множеств - её пришлось выбросить, грубо говоря.
Противоречие в ZFC не несёт в себе смертельной угрозы для математики как таковой, но окажется вполне смертельным для самой ZFC - вместо неё придётся искать другую аксиоматическую систему, чтобы выстроить новое основание математики. Пока этим никто не занимается просто потому, что ZFC всех устраивает.
Так и в канторовской теории множеств, было не одно, а бесконечно много противоречий.
И менно по
этой причине от нее пришлось отказаться. Однако крушение канторовской теории множеств, не повлекло за собой крушение классической математики. Причина этого явления тривиальна. Противоречивые канторовские множества, не участвуют в традиционных математических конструкциях, поэтому выбросив их из теории множеств, мы ничего не теряем,
будь даже канторовская теория и непротиворечива.
Точно также и в моем случае. Даже если в ZFC-было бы обнаружено бесконечная рекурсивная последовательность противоречий, можно было бы ограничить конструктивным
образом аксиому подстановки и полностью от них избавиться. Но на самом деле противоречивость ZFC носит чрезвычайно сложный и нерекурсивный характер.
Ну в общем просто так, с помощью испытанных методов урезания, теперь от него отделаться не удасться.
Что касается канторовской теории множеств, то там тоже как оказалось все не так просто.
Много лет назад я доказал теорему которая говорит, что если ZFC непротиворечива, то существует некоторое ее паранепротворечивое расширение
ZFC# в котором доказуемо существование любого противоречивого канторовского множества, т.е. объекта который является классом в теории
NGB. В
ZFC# утверждение
Consis(ZFC) не принимается как аксиома, а рассматривается как рядовая и достаточно примитивная гипотеза, характеризуящая размеры универсума всех непротиворечивых множеств
V^Cons. Ложность гипотезы
Consis(ZFC) это не какое то особенное явление,а просто трудная теорема, которая говорит что размеры
V^Cons намного меньше, чем обычно принято считать.
Нисколько не настаиваю, что число последних отлично от нуля.
Для того чтобы действительно разрушить ZFC, нужно показать, что противоречивых объектов, там в некотором смысле не просто много, а очень много. Технически это очень громоздкая задача.
