Количество натуральных чисел

[migmit]

dydx в сообщении #641526 писал(а):

migmit в сообщении #641518 писал(а):

Привести-то привели, но явно не поняли. Перевести? "Для каждого натурального числа n, S(n) - натуральное число". Ещё раз: "для каждого".

"Для каждого натурального числа n, S(n) - натуральное число" можно понимать по разному.

Нельзя.

dydx в сообщении #641526 писал(а):

можно понимать и иначе: "для каждого натурального числа n, если существует S(n), то оно натуральное число".

Нельзя. Ни в английском, ни в русском языке подобной двусмысленности нет.

[dydx]

migmit
Если ее нет, то зачем тогда здесь http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2789, например, пишут "For each $x\in\mathbb{N}$ , there exists exactly one $x'\in\mathbb{N}$ , called the successor of $x$"?
Да и вообще, вы читаете хоть мои сообщение в теме, или только те, которыми я вам отвечал? Посмотрите post641491.html#p641491

dydx в сообщении #641491 писал(а):

тему я создал не для терминологического спора.

[migmit]

dydx в сообщении #641537 писал(а):

migmit
Если ее нет, то зачем тогда здесь http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2789, например, пишут "For each $x\in\mathbb{N}$ , there exists exactly one $x'\in\mathbb{N}$ , called the successor of $x$"?

Затем, что в их формулировке a priori нет явной зависимости $x'$ от $x$. В вики - $S(x)$, а на Планете - $x'$. Это разные вещи.

dydx в сообщении #641537 писал(а):

Да и вообще, вы читаете хоть мои сообщение в теме, или только те, которыми я вам отвечал? Посмотрите post641491.html#p641491

dydx в сообщении #641491 писал(а):

тему я создал не для терминологического спора.

Это не терминология, это русский (или английский) язык.

[dydx]

migmit в сообщении #641531 писал(а):

Ни в английском, ни в русском языке подобной двусмысленности нет.

И все-таки есть. "Для каждого автомобиля n, модернизацированная версия n, которая передвигается со сверхсветовой скоростью, является автомобилем". Эта фраза корректна. Почему? Потому что мы ее понимаем во втором смысле ( "Для каждого автомобиля n, если существует модернизацированная версия n, которая передвигается со сверхсветовой скоростью, то она является автомобилем"). И она некорректна, если ее понимать в первом смысле ( "Для каждого автомобиля n, существует модернизацированная версия n, которая передвигается со сверхсветовой скоростью, и является автомобилем"), потому что передвигать со сверхсветовой скоростью невозможно.

[epros]

dydx, непонятно, какие именно вопросы у Вас ещё остались? Никакого "если существует S(n)" в аксиоматике быть не может, потому что это "если" является безусловной истиной в силу особенностей языка классического исчисления предикатов: В оном языке есть правило вывода, согласно которому на место переменной всегда можно подставить терм. Отсюда следует, что формула $\forall x \exists y ~ y = f(x)$ истинна для любого функционального символа $f$, определённого в сигнатуре теории. Это означает, что если объект $x$ определяется какой-то строкой символов, то мы можем получить определение объекта $y$, тупо заключив эту строку в скобки и добавив слева символ $f$.

На примере: Если мы можем в языке арифметики записать терм $(1+1+1) \times (1+1)$, значит можем записать и терм $S((1+1+1) \times (1+1))$.

[dydx]

migmit в сообщении #641552 писал(а):

Затем, что в их формулировке a priori нет явной зависимости $x'$ от $x$. В вики - $S(x)$, а на Планете - $x'$. Это разные вещи.

Ну это уж вообще. Вы цепляетесь к синтаксису. Пытаетесь обосновать значение фразы по выбранному стилю ее записи.

[migmit]

dydx в сообщении #641559 писал(а):

migmit в сообщении #641531 писал(а):

Ни в английском, ни в русском языке подобной двусмысленности нет.

И все-таки есть. "Для каждого автомобиля n, модернизацированная версия n, которая передвигается со сверхсветовой скоростью, является автомобилем". Эта фраза корректна.

Вообще-то, правильно это говорится как "модернизированная версия... будет автомобилем".

Но в данном случае правильная аналогия - это "у каждого автомобиля рычаг переключения передач расположен посередине". Эта фраза бессмысленна в том случае, если есть автомобили без рычага переключения передач.

-- Чт ноя 08, 2012 16:53:44 --

dydx в сообщении #641575 писал(а):

Ну это уж вообще. Вы цепляетесь к синтаксису. Пытаетесь обосновать значение фразы по выбранному стилю ее записи.

Это не "стиль записи", а разные утверждения. Первое говорит нам о функции $S$. Второе - о числе $x'$.

[dydx]

epros
Пойдем по порядку.
Пусть N - натуральное число.

Определение. Кортеж называется N-осуществимым (или просто осуществимым), если количество его элементов не превышает N.

Определение. Множество называется N-осуществимым, если существует N-осуществимый кортеж из его элементов.

Отсюда легко следуют такие понятия, как осуществимый алфавит, осуществимое слово, осуществимый терм, осуществимое доказательство и т.п.

А теперь вот такая теория. Аксиомы:
1. $0$ - натуральное число (прошу не путать с понятием натурального числа в метатеории, которое использовалось выше).
2. Для любого натурального числа $n$, если терм $n'$ осуществим, то $n'$ - натуральное число.
3. Для любого натурального числа $n$, если терм $n'$ осуществим, то $n'\neq 0$.
4. Для любых натуральных чисел $n$ и $m$, если термы $n'$ и $m'$ осуществимы, то из $n'=m'$ cледует, что $n=m$.
5. Если предикат $P$ такой, что $P(0)$ и для каждого натурального числа $n$, из того, что $P(n)$ и $n'$ осуществим, следует, что $P(n')$, то тогда $P(n)$ для любого натурального числа $n$.

[migmit]

dydx в сообщении #641950 писал(а):

Отсюда легко следуют такие понятия, как осуществимый алфавит, осуществимое слово, осуществимый терм, осуществимое доказательство и т.п.

Понятия вообще не следуют, они определяются. Как именно?

dydx в сообщении #641950 писал(а):

2. Для любого натурального числа $n$, если терм $n'$ осуществим, то $n'$ - натуральное число.

Как связаны $n$ и $n'$?

[dydx]

migmit в сообщении #641959 писал(а):

Понятия вообще не следуют, они определяются. Как именно?

Это вольность речи. Ну очевидно же, что слово - это кортеж символов, значит осуществимое слово - это осуществимый соответствующий кортеж символов, который есть это слово. Остальное определяется аналогично.

migmit в сообщении #641959 писал(а):

Как связаны $n$ и $n'$?

В каком смысле? $n'$ - это терм, получаемый из $n$, путем приписывания справа символа $'$.

[epros]

dydx в сообщении #641950 писал(а):

Пойдем по порядку.
...

Зачем Вам это? Например, в языке арифметики со знаками умножения и сложения и с инкрементом, обозначаемым штрихом, число 15 можно записать термом $0''''' \times 0'''$ (11 символов). Допустим, что мы согласились принять $N=12$. Значит ли это, что мы можем получить число 16, добавив штрих к этому терму справа? Наверное всё же не значит.

Если Вам нужно ввести понятие "осуществимости" натурального числа $n$, Вы легко можете определить его формулой, выражающей свойство $n < N$.

[dydx]

migmit в сообщении #641959 писал(а):

Как связаны $n$ и $n'$?

Марков А.А. Элементы математической логики /МГУ(1984) писал(а):

Два слова, построенных из одинаковых букв, расположенных в одинаковом порядке, мы считаем одинаковыми.

Поэтому не может существовать два слова $n'$. Поэтому уточнение, что существует ровно один $n'$ избыточно.

[epros]

dydx в сообщении #641969 писал(а):

Поэтому не может существовать два слова $n'$. Поэтому уточнение, что существует ровно один $n'$ избыточно.

Равенство строк - это не то же самое, что доказуемое в теории равенство термов: $0'' \times 0'' = 0'' + 0''$.

[dydx]

epros в сообщении #641968 писал(а):

Зачем Вам это?

Марков А.А. Элементы математической логики /МГУ(1984) писал(а):

Всякое слово осуществимо путем его писания слева направо, т.е. следующим образом: пишется какая-нибудь буква. К ней приписывается справа другая буква. К полученному объекту приписывается еще буква и т.д. до конца процесса, т.е. до написания последней буквы слова.

Марков А.А. Элементы математической логики /МГУ(1984) писал(а):

При осуществлении слов нам могут встретиться препятствия, такие как край доски, израсходование куска мела, усталость, смерть и т.п. Чем более длинные слова мы захотели бы осуществить, тем больше будут нам мешать подобные препятствия. Правда, их как-то можно обходить: наткнемся на край доски - перенесем дальнейшую часть слова в следующую строку, которую будем мыслить как продолжение только что законченной; мела не хватит - попросим, чтобы принесли из другой аудитории; жизни не хватит - завещаем потомкам, чтобы они закончили слово. Однако ниоткуда не следует, что всегда можно так или иначе преодолеть препятствия, связанные с ограниченностью наших возможностей в пространстве, времени и материале. Наоборот, воззрения современной космологии как-будто свидетельствует об обратном.
Несмотря на это, мы условимся так рассуждать о словах, как если бы при их осуществлении не существовало препятствий, проистекающих от практической ограниченности наших конструктивных возможностей. От этих препятствий мы, таким образом, будем отвлекаться. Эту манеру рассуждать мы будем называть абстракцией потенциальной осуществимости

А я не хочу принимать эту абстракцию. Я не верю, что очень большие числа осуществимы. Я хочу узнать насколько сложную математику можно построить без этой абстракции.

epros в сообщении #641968 писал(а):

Например, в языке арифметики со знаками умножения и сложения и с инкрементом, обозначаемым штрихом, число 15 можно записать термом $0'''''' \times 0'''$ (11 символов). Допустим, что мы согласились принять $N=12$. Значит ли это, что мы можем получить число 16, добавив штрих к этому терму справа? Наверное всё же не значит.

У нас пока еще нету знаков умножения, сложения и т.д...
Ну хорошо, замените везде у меня $n'$ на $S(n)$.

epros в сообщении #641968 писал(а):

Если Вам нужно ввести понятие "осуществимости" натурального числа $n$, Вы легко можете определить его формулой, выражающей свойство $n < N$.

Нет, не это я хочу.

[migmit]

dydx в сообщении #641963 писал(а):

migmit в сообщении #641959 писал(а):

Понятия вообще не следуют, они определяются. Как именно?

Это вольность речи. Ну очевидно же, что слово - это кортеж символов, значит осуществимое слово - это осуществимый соответствующий кортеж символов, который есть это слово. Остальное определяется аналогично.

То есть, просто слово длины не более $N$? Тогда вообще любое слово "осуществимо", достаточно взять $N$ равным его длине.