Беседа об интегралах (осознанности взятия оных)

[Munin]

Цепь - это некое обобщение понятия области интегрирования, удобное тем, что цепи образуют векторное пространство. А коцепь - это линейный функционал на этом пространстве, элемент сопряжённого к нему. Подынтегральные функции по сути оказываются коцепями.

[longstreet]

А где об этом хорошо написано?

[Munin]

К сожалению, я сам знаком с этой идеей очень поверхностно, и не могу оценивать литературу по качеству. Я начитался предисловий к алгебраической топологии, по книгам
Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии.
Шапиро, Ольшанецкий. Лекции по топологии для физиков.
Ефимов. Введение в теорию внешних форм.
Виро, Иванов, Нецветаев, Харламов. Элементарная топология.
может, ещё что-то, точно не скажу.

[maxal]

Вспомнился старый пост М. Вербицкого о том же: Взял интеграл? Положи его на место! (ну и дискуссия в комментариях)

[dmd]

Не так это просто, как утверждает Вербицкий. Именно поэтому он не прав. Имхо наоборот - в учебных программах должно быть как можно больше задач на получение первообразной с физическим, геометрическим и любым другим смыслом, какой только можно придумать в связи с этим. Именно для развития у обучающегося нативной осознанности аналитического труда и искоренения операторнутой однобокости. Ибо интеграл - в самую последнюю очередь закорючка оператора, в первую очередь он - искомая функция аналитической задачи. Вообще считаю, что на всех математических специальностях (даже в большей степени, чем на инженерных) в качестве урока численного интегрирования должна быть курсовая работа самостоятельного составления конечно-элементной матмодели чего-то конкретного и полного ее расчета - чтоб от земли в своём творчестве отталкивались, а не летали в операторных облаках.

[Munin]

dmd в сообщении #645107 писал(а):

Ибо интеграл - в самую последнюю очередь закорючка оператора, в первую очередь он - искомая функция аналитической задачи.

Задач бывает много разных, и в каждой - своя искомая функция (если функция). Непонятно, зачем это выделять, в ущерб тому, что специфично именно для интеграла.

Не знаю, что вы подразумеваете под "операторнутостью", но понимать операторность многих вещей - важнейшая вещь для решения множества практических задач, например, матфизики. Например, с функцией Грина без этого никуда.

[dmd]

Под "операторнутостью" понимаю виртуозное владение операторами на бумаге и неспособность их адекватно применить в практическом расчете. Касательно интегралов - это неспособность корректно учесть граничные условия на расчетной области. Не то что студенты - большинство доцентов и профессоров, обучающих студентов мат.анализу - не смогут правильно расставить пределы интегрирования на границах расчетной области мат.модели, а на границах конечных элементов - не смогут верно вычислить их пределы интегрирования. Не говоря уже о более тонких аспектах конечно-элементных методов, и тем более о самостоятельном проектировании мат.модели. В моём понимании - такова мера практической осознанности применения операторов интегрирования. Касательно других математических операторов должны быть те же самые принципы верификации осознанности их применения - самостоятельное составление корректной мат.модели и полный её расчет. Как может быть иначе?

[Munin]

Понятно. Вы начали с интегрирования вообще, а закончили методом конечных элементов - как жаль, что все им не владеют в совершенстве. Мне кажется, интегралы несколько шире.

[Alexander N.]

Профессор Снэйп в сообщении #639515 писал(а):

Первое, что пришло на ум: студенты берут определённые интегралы, совершенно не представляя, что такое интеграл Лебега или хотя бы интеграл Римана. Меж тем они владеют кучей технических приёмов вычисления значений этих интегралов

Наверное можно предположить, что вообще никто не понимает, что такое интеграл, потому что теория интегрального исчисления настолько несовершенна, что еще рано вообще говорить, что она уже создана.

[Munin]

Alexander N. в сообщении #679016 писал(а):

Наверное можно предположить, что вообще никто не понимает, что такое интеграл, потому что теория интегрального исчисления настолько несовершенна, что еще рано вообще говорить, что она уже создана.

А это ничего, что она уже настолько совершенна, что существует алгоритм взятия интеграла?

[Alexander N.]

Munin в сообщении #645337 писал(а):

Понятно. Вы начали с интегрирования вообще, а закончили методом конечных элементов - как жаль, что все им не владеют в совершенстве. Мне кажется, интегралы несколько шире.

Метод конечных элементов это новомодная и несерьезная штучка, а вот метод конечных разностей это по сути расчетно-прикладное развитие интегрального исчисления за пределы области, где не берутся квадратуры причем для любой размерности, включая нелинейные задачи.

-- 01.02.2013, 22:19 --

Munin в сообщении #679027 писал(а):

А это ничего, что она уже настолько совершенна, что существует алгоритм взятия интеграла?

А вот помните в первом классе, когда наши знания достигли совершенства в области действий сложения и вычитания, мы быстро поняли, что на этом останавливаться нельзя и необходимо еще знать два других действия - умножение и деление.
Вот точно также и с интегралом - современная математика пока освоила только два действия из четырех.
Когда я впервые узнал интеграл, то он мне настолько понравился, что мне захотелось его сразу усовершенствовать, и через 4 года мне это удалось.

[Munin]

С психами здесь не разговаривают...

[NQD]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #679038 писал(а):

С психами здесь не разговаривают...

Сложно найти более яркий пример противоречия слова (текста сообщения) и дела (факта наличия самого сообщения).

[Jnrty]

Тему закрываю просто из уважения к памяти Профессора Снэйпа, чтобы сюда не писали всякую чушь, на которую он, к сожалению, уже не ответит.