Уравнение Эйлера-Лагранжа

[Eau]

Уравнение Эйлера-Лагранжа считается уравнением в частных производных, но там присутствует только функциональная производная, значит это не обыкновенное дифференциальное ур-ние
И как его решать?

[Joker_vD]

Нет там никаких функциональных производных, а есть частные производные от $F(a,b,c)$.

[Alex-Yu]

Eau в сообщении #640562 писал(а):

Уравнение Эйлера-Лагранжа считается уравнением в частных производных, но там присутствует только функциональная производная, значит это не обыкновенное дифференциальное ур-ние

Для специального вида действия (интеграл от функции Лагранжа, зависящей от координат и скоростей) эти уравнения превращаются в привычные уравнения в частных производных. Такой специальный вид действия используется практически всегда.

P.S. Для механики точек (в отличие от теории поля) получаются даже не уравнения в частных производных, а обыкновенные дифуравнения.

[Eau]

ах да точно, ступил

[Oleg Zubelevich]

судя по уровню тупости, Eau
это клон Муродьянца злостного тролля

[Joker_vD]

Ну нате: пусть есть функционал $J[y] = \int\limits_a^b (F\circ \Gamma[y])$, где $F=F(a,b,c)$ — функция трех вещественных переменных, $\Gamma[y]=\Gamma[y](x)=(x,y(x),y'(x))$ — такая вот вектор-функция от вещественной переменной и вещественнозначной функции одной вещественной переменной. Их композиция $(F\circ\Gamma[y])(x)=\widetilde F(x)=F(x,y(x),y'(x))$, и в традиционных обозначениях мы ныкаем эту композицию и не различаем $F\colon\mathbb R^3\to\mathbb R$ и $\widetilde F\colon\mathbb R\to\mathbb R$ до такой степени, что обозначаем аргументы $F$ не как $a,b,c$, а как $x,y,y'$. Ладно, бог с ними, с допотопными обозначениями, варьируем:

$$\delta_\eta J[y]=\int\limits_a^b \delta_\eta(F\circ \Gamma[y]) = \int\limits_a^b (F'\circ \Gamma[y])\delta_\eta\Gamma[y]=\int\limits_a^b \left(\left(\frac{\partial F}{\partial b}\circ\Gamma[y]\right)\eta+\left(\frac{\partial F}{\partial c}\circ\Gamma[y]\right)\eta'\right),$$

поскольку $\delta_\eta\Gamma[y]=(0,\eta,\eta')$. Интегрируем второе слагаемое по частям, учитываем, что $\eta(a)=\eta(b)=0$, получаем выражение для вариации:

$$\delta_\eta J[y]=\int\limits_a^b \left(\left(\frac{\partial F}{\partial b}\circ \Gamma[y]\right)-\left(\frac{\partial F}{\partial c}\circ \Gamma[y]\right)' \right)\eta$$

Чтобы она была равна нулю для произвольной $\eta$, необходимо, чтобы выполнялось равенство $\left(\frac{\partial F}{\partial b}\circ \Gamma[y]\right)-\left(\frac{\partial F}{\partial c}\circ \Gamma[y]\right)'$ — или, в более традиционных обозначениях, $\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial y'}$, потому что в традиционной записи, как я уже писал, подстановка $x,y(x),y'(x)$ подразумевается неявно.

[Eau]

вот теперь все прояснилось, более -менее
Спасибо!