Ну нате: пусть есть функционал
![$J[y] = \int\limits_a^b (F\circ \Gamma[y])$ $J[y] = \int\limits_a^b (F\circ \Gamma[y])$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/c/fdc1c741be7a24177c3ac82ceb5f295782.png)
, где

— функция трех вещественных переменных,
![$\Gamma[y]=\Gamma[y](x)=(x,y(x),y'(x))$ $\Gamma[y]=\Gamma[y](x)=(x,y(x),y'(x))$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/e/58ee17a7ec748c2e97175ea3b51c053d82.png)
— такая вот вектор-функция от вещественной переменной и вещественнозначной функции одной вещественной переменной. Их композиция
![$(F\circ\Gamma[y])(x)=\widetilde F(x)=F(x,y(x),y'(x))$ $(F\circ\Gamma[y])(x)=\widetilde F(x)=F(x,y(x),y'(x))$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/b/f3b0324c051899a9a0eef9a34587b5e182.png)
, и в традиционных обозначениях мы ныкаем эту композицию и не различаем

и

до такой степени, что обозначаем аргументы

не как

, а как

. Ладно, бог с ними, с допотопными обозначениями, варьируем:
![$$\delta_\eta J[y]=\int\limits_a^b \delta_\eta(F\circ \Gamma[y]) = \int\limits_a^b (F'\circ \Gamma[y])\delta_\eta\Gamma[y]=\int\limits_a^b \left(\left(\frac{\partial F}{\partial b}\circ\Gamma[y]\right)\eta+\left(\frac{\partial F}{\partial c}\circ\Gamma[y]\right)\eta'\right),$$ $$\delta_\eta J[y]=\int\limits_a^b \delta_\eta(F\circ \Gamma[y]) = \int\limits_a^b (F'\circ \Gamma[y])\delta_\eta\Gamma[y]=\int\limits_a^b \left(\left(\frac{\partial F}{\partial b}\circ\Gamma[y]\right)\eta+\left(\frac{\partial F}{\partial c}\circ\Gamma[y]\right)\eta'\right),$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/2/bc273b07b04fd6525eeaf1305b61209082.png)
поскольку
![$\delta_\eta\Gamma[y]=(0,\eta,\eta')$ $\delta_\eta\Gamma[y]=(0,\eta,\eta')$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/4/1a4745cc42388d763be1ac94ad40038582.png)
. Интегрируем второе слагаемое по частям, учитываем, что

, получаем выражение для вариации:
![$$\delta_\eta J[y]=\int\limits_a^b \left(\left(\frac{\partial F}{\partial b}\circ \Gamma[y]\right)-\left(\frac{\partial F}{\partial c}\circ \Gamma[y]\right)' \right)\eta$$ $$\delta_\eta J[y]=\int\limits_a^b \left(\left(\frac{\partial F}{\partial b}\circ \Gamma[y]\right)-\left(\frac{\partial F}{\partial c}\circ \Gamma[y]\right)' \right)\eta$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/1/4712351459b9c33fda3b3049d6e9f17082.png)
Чтобы она была равна нулю для произвольной

, необходимо, чтобы выполнялось равенство
![$\left(\frac{\partial F}{\partial b}\circ \Gamma[y]\right)-\left(\frac{\partial F}{\partial c}\circ \Gamma[y]\right)'$ $\left(\frac{\partial F}{\partial b}\circ \Gamma[y]\right)-\left(\frac{\partial F}{\partial c}\circ \Gamma[y]\right)'$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/c/e0caf7a8e9ed94623d354ed447bd54e782.png)
— или, в более традиционных обозначениях,

, потому что в традиционной записи, как я уже писал, подстановка

подразумевается неявно.