ТВ: как составить и решить интеграл???

[cepesh]

Короче, для общего случая это ересь.
Вот тебе пример четной функции:
При $-1 \leq x \leq 1,\, f(x) = -x^2$, иначе $f(x) = 0$

[Alenka_kiss]

Я, кажется, поняла. На модуль не надо обращать внимания и тогда получается
a((1-1/2)-(-1-1/2))=1
a=1
Правильно?

[Capella]

А я поняла, что ты имеешь ввиду, там может не проходить из-за 1? То есть она не обладает нужной симметрией?
Значит имеем: $ $$\int\limits_{-1}^{1} -x^2 dx $$ = - \frac 2 3 $, НО! $ $$2 \int\limits_{0}^{1} x^2 dx $$ = \frac 2 3 $, короче отличаются только по модулю, вероятно для того, чтобы результаты совпадали надо взять $ \mathcalc {d} |x| $
А здесь надо ещё запись подправить, т.к. не $ (-x)^2 $, a $ -(x^2)$:
$ $$\int\limits_{-1}^{1} -(x^2) dx $$ = - \frac 2 3 = $$2 \int\limits_{0}^{1} -(x^2) dx $$ $то есть вообще равны.

[cepesh]

$$\int\limits_{-1}^1 a(1-|x|) dx= 2a - a \int\limits_{-1}^1 |x| dx = 2a - 2a \int\limits_{0}^1 x dx = 2a - a = a$$

Откуда $a=1$, так как по определению плотности

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_\xi (x) dx = 1$$

Поэтому наша плотность теперь выглядит вот так:

$$f_\xi (x) = 1 - |x| = \begin{cases} 0,&\text{если $|x|>1$;}\\ 1+x,&\text{если $-1\leq x \leq 0$;}\\ 1-x,&\text{если $0\leq x \leq 1$;}\\ \end{cases} $$

$$F_\xi (x) = \int\limits_{-\infty}^x f_\xi (t) dt = \begin{cases} 0,&\text{если $x<-1$;}\\ 1,&\text{если $x>1$;}\\ \frac12 x^2 + x + \frac12,&\text{если $-1\leq x \leq 0$;}\\ -\frac12 x^2 + x + \frac12,&\text{если $0\leq x \leq 1$;}\\ \end{cases} $$

Тогда получаем

$$F_\xi \left(- \frac12\right) =\frac18, F_\xi \left(\frac12\right) = \frac78 $$

Теперь мат.ожидание:

$$\mbox{M} \xi = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x f_\xi (x) dx = 0$$

Теперь дисперсия

$$\mbox{D} \xi = \mbox{M}(\xi - \mbox{M} \xi)^2 = \mbox{M} \xi^2 - (\mbox{M} \xi )^2$$

Найдем второй момент

$$\mbox{D} \xi = \mbox{M} \xi^2 - 0= \int\limits_{-1}^{1} x^2 (1-|x|) dx = 2 \int\limits_{0}^{1} x^2 (1-x) dx = 2 \int\limits_{0}^{1} x^2-x^3 dx= \frac16$$

[cepesh]

ψυ& писал(а):

А я поняла, что ты имеешь ввиду, там может не проходить из-за 1? То есть она не обладает нужной симметрией?
Значит имеем: $ $$\int\limits_{-1}^{1} -x^2 dx $$ = - \frac 2 3 $, НО! $ $$2 \int\limits_{0}^{1} x^2 dx $$ = \frac 2 3 $, короче отличаются только по модулю

Короче, не только. Замени в моём примере $-x^2$ на $\frac12-x^2$

[Capella]

Заменила, интегралы вообще совпали, вплоть до знака

[cepesh]

ψυ& писал(а):

Заменила, интегралы вообще совпали, вплоть до знака

\displaystyle \int _{-1}^{1}} \left| \! \, - {\displaystyle \frac {1}{2}} + x^{2}\, \! \right| \,dx={\displaystyle \frac {2 }{3}} \,\sqrt{2} - {\displaystyle \frac {1}{3}}
2\,{\displaystyle \int _{0}^{1}} {\displaystyle \frac {1}{2}} - x^{2}\,dx={\displaystyle \frac {1}{6}}
Плохо посчитала. Таким образом, даже для четных функций твое утверждение

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx $$

=

$$ 2 \int\limits_{0}^{\infty} f(x)dx $$

неверно!

[Capella]

Я считаю на вольфрамовской Математике, она не может плохо считать. Насчёт этого утверждения, я уже сделал правку. Я могу приравнивать 2 интеграла по положительной области интегралу по всему $ \mathbb R $ для чётных функций.

[Alenka_kiss]

Лягу сегодня спать просвещенная! (Я - с Сахалина). Спасибо большое!

[cepesh]

ψυ& писал(а):

Я считаю на вольфрамовской Математике, она не может плохо считать. Насчёт этого утверждения, я уже сделал правку. Я могу приравнивать 2 интеграла по положительной области интегралу по всему $ \mathbb R $ для чётных функций.

Я не вижу правок. Модули как были - так и остались. Я уж не знаю, чем ты там считаешь, но ты хотя бы картинку представь себе.

[Capella]

Хорошо, я пишу тебе второй раз правку, первый в полном виде:
Действует для чётных функций:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x) d|x|$$

=

$$ 2 \int\limits_{0}^{\infty} f(x) dx$$

Я интегрирую здесь по модулю, чтобы убрать этот мерзкий минус из твоего первого примера (хотя он может быть вообще вынесен за скобку, и тогда этого не понадобиться)
Смею предположить, что если нечётные функции брать по модулю, то равенство тоже будет выполнятся.
А картинку ты себе представь, у тебя чётные функции симметричны относительно прямой y!

[cepesh]

Ты не путай кислое с пресным. В твоём посте по адресу http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=6392#6392 Написано, что для четных функций выполняется следующее равенство:

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} |f(x)|dx $$

=

$$ 2 \int\limits_{0}^{\infty} f(x)dx $$

Я тебе привел ДВА контрпримера. В ответ ты мне написала что-то в чем мне разбираться лень, модуль под дифференциал внесла зачем-то...
Правильное равенство для четных функций вот такое: $\int_\mathbb{R}f(x) dx = 2 \int_\mathbb{R^+} f(x) dx$, если, конечно, не имеется в виду интеграл в смысле главного значения.

[Capella]

Так я тебе на это сама обратила внимание в буквально следующем посту!!!! Кроме того, я тебе писала, что для нечётных не действует! Ты мой пост посмотри от 13:38:09 !

[cepesh]

ψυ& писал(а):

Так я тебе на это сама обратила внимание в буквально следующем посту!!!! Кроме того, я тебе писала, что для нечётных не действует! Ты мой пост посмотри от 13:38:09 !

Ссылки на пост давай. При чем тут вообще нечетные функции??? понятно, что у них интеграл по всей прямой будет нулём.

[cepesh]

Первый раз вижу, чтобы формулы подгоняли под контрпримеры )))
Зачем ты сюда привлекаешь интегралы Римана-Стильтеса?