Эйлеровы интегралы

[lampard]

Добрый вечер, подскажите, пожалуйста, как тут быть дальше.

Определить область существования и выразить эйлеровы интегралы

1) $\displaystyle\int_0^1\ln\Big(\Gamma(x)\Big)dx$

Делал так

$$\displaystyle\int_0^1\ln\Big(\Gamma(x)\Big)dx=\Big|x=1-t\Big|=\displaystyle\int_0^1\ln\Big(\Gamma(1-t)\Big)dt=\displaystyle\int_0^1\ln\Big(\Gamma(1-x)\Big)dx=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1\ln\Big(\Gamma(x)\Gamma(1-x)\Big)dx=$$

$$=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1\ln\Big(\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)}\Big)dx=\dfrac{1}{2}\ln\pi-\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^1\ln\Big({\sin(\pi x)}\Big)dx$$

Как взять последний интеграл? Или тут можно сделать иначе?

2) $\displaystyle\int_0^{+\infty}\dfrac{x^{p-1}\ln^2 x dx}{1+x}$

Тут логарифм сильно смущает, я делал замену $t=\ln(x)$, но ничего хорошего из этого не вышло...

[ИСН]

Интеграл от логарифма синуса, наверное, должен браться через эйлеровское же бесконечное произведение для синуса.

[lampard]

ИСН в сообщении #639656 писал(а):

Интеграл от логарифма синуса, наверное, должен браться через эйлеровское же бесконечное произведение для синуса.

Что-то вот здесь почитал (*), там написано про разложение только гиперболического синуса, а что это за произведение такое?

(*) http://lab6.iitp.ru/ru/pub/ru_umn_1988_k.pdf

[ИСН]

Вы все книги читаете только до середины первой страницы?

[lampard]

ИСН в сообщении #639664 писал(а):

Вы все книги читаете только до середины первой страницы?

Спасибо! Я прочитал все, но по диагонали, потому не заметил сразу...

$\sin(\pi x)=\pi x\displaystyle\prod_{i=1}^{\infty}\Big(1-\dfrac{x^2}{i^2}\Big)$

$$\displaystyle\int_0^1 \ln\Bigg[x\prod_{i=1}^{\infty}\Big(1-\dfrac{x^2}{i^2}\Big)\Bigg]dx=\displaystyle\int_0^1 \ln x dx+ \sum_{i=1}^{\infty}\int_0^1\ln\Bigg[\Big(1-\dfrac{x^2}{i^2}\Big)\Bigg]dx=$$

$$=\displaystyle\int_0^1 \ln x dx+\sum_{i=1}^{\infty}\int_0^1\ln\Bigg[\Big(1-\dfrac{x}{i}\Big)\Bigg]dx+\sum_{i=1}^{\infty}\int_0^1\ln\Bigg[\Big(1+\dfrac{x}{i}\Big)\Bigg]dx$$

А сходится ли ряд их этих интегралов? Я так понял, что нужно по частям взять...

$\displaystyle\int_0^1 \ln\Big(1+\dfrac{x}{i}\Big)dx=(i+1)\ln\Big(1+\dfrac{x}{i}\Big)-1$

$\displaystyle\int_0^1 \ln\Big(1-\dfrac{x}{i}\Big)dx=(-i+1)\ln\Big(1-\dfrac{x}{i}\Big)-1$

[ИСН]

А чёрт его знает. Это было только предположение. Но точно помню что весь интеграл как-то брался (не вообще, а именно в этих пределах).

[lampard]

ИСН в сообщении #639676 писал(а):

А чёрт его знает. Это было только предположение. Но точно помню что весь интеграл как-то брался (не вообще, а именно в этих пределах).

Ок, спасибо! А есть ли какие-то идеи насчет второго интеграла в старт-посте?

[ИСН]

Есть. Не хочу прямо говорить. Что произошло бы с этим интегралом, вздумай некто продифференцировать его по параметру?

[nnosipov]

ИСН в сообщении #639676 писал(а):

Но точно помню что весь интеграл как-то брался (не вообще, а именно в этих пределах).

Вот здесь мы это как-то обсуждали: topic44728.html

[ИСН]

Блин. Я забыл этот трюк.

[ex-math]

Логарифмов можно сколько угодно накрутить, дифференцируя более приличный интеграл по $p$. А в нем попробуйте $t=\frac x{1+x}$.