Определенный интеграл

[retired]

$\int\limits_{0}^{\pi/2}{\ln(\cos x)}{dx}$

Подскажите пожалуйста идею решения без комплексных чисел

[ИСН]

Может, через бесконечное произведение для косинуса как-нибудь?

[nnosipov]

retired в сообщении #438328 писал(а):

$\int\limits_{0}^{\pi/2}{ln(cosx)}{dx}$

Подскажите пожалуйста идею решения без комплексных чисел

Здесь возможен фокус. Пусть $I=\int_0^{\pi/2}\ln{\cos{x}}\,dx$. Тогда $I=\int_0^{\pi/2}\ln{\sin{x}}\,dx$ и

$$\hspace{-1cm}2I=\int_0^{\pi/2}\ln{(\sin{(2x)}/2)}\,dx=-\tfrac{\pi}{2}\ln{2}+\int_0^{\pi/2}\ln{\sin{(2x)}}\,dx=-\tfrac{\pi}{2}\ln{2}+\tfrac{1}{2}\int_0^{\pi}\ln{\sin{t}}\,dt=-\tfrac{\pi}{2}\ln{2}+\int_0^{\pi/2}\ln{\sin{t}}\,dt=-\tfrac{\pi}{2}\ln{2}+I,$$

откуда $I=-\tfrac{\pi}{2}\ln{2}$.

P.S. Пардон за полное решение задачи, несколько увлекся. Но Вы можете ещё попробовать разложить $\ln{\cos^2{x}}=\ln{(1+\cos{2x})}-\ln{2}$ в ряд и затем проинтегрировать почленно.

[retired]

nnosipov, спасибо большое. Надо будет еще попробовать, как Вы предложили

[AD]

Цитата:

Пардон за полное решение задачи

Ничего, я в своё время до такого трюка не додумался, так что сойдёт А вообще это дело уже кучу раз обсуждалось, поиск по формулам рулит! (ищите что-нибудь при помощи последней формочки по запросу вида

\int_0^{\pi/2}\ln\cos xdx

и будет Вам счастье)

[Полосин]

Этому трюку лет двести...

[Tlalok]

А у меня вопрос, этот трюк основан на том, что синус и косинус на указанном интервале принимают одни и те же значения?

[Полосин]

Этот трюк основан, в частности, на формуле $\cos x=\sin(\pi/2-x)$.

[ewert]

Полосин в сообщении #438401 писал(а):

Этот трюк основан, в частности, на формуле $\cos x=\sin(\pi/2-x)$.

Это ровно то, что предыдущий оратор и имел в виду. Но, как Вы правильно заметили -- далеко не только на этом. Ещё и на свойствах логарифма, и на тригонометрических тождествах и т.д. В общем, пожонглировать разными и не бросающимися в глаза свойствами приходится. Мне, например, этот трюк в глаза самостоятельно, если я правильно помню, в голову не приходил.

[Полосин]

Это знаменитый интеграл Эйлера. См., например, учебник Фихтенгольца, т.2. В пятом издании (1962 г.) это стр. 615, п.492. Некоторые замечательные интегралы.

[Tlalok]

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \cos x dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)dx} = \left[ \begin{array}{l}t = \frac{\pi }{2} - x\\dt = - dx\end{array} \right] = - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\ln \sin tdt} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \sin tdt} $

Это имелось ввиду?