2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 22, 23, 24, 25, 26  След.
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение30.10.2012, 16:10 


23/02/12
3335
Лемма 2
Пусть в основании треугольника Гильбрайта T находится последовательность вычетов nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$, тогда для вычета $p_k$, с которого начинается строка ИС в nПСВ$_m$, выполняется: $p_k<p^2_r.$

Доказательство
На основании теоремы 4 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится nПСВ$_m$ имеет строку ИС. Последовательность nПСВ$_m$ начинается с вычетов $1, p_{r+1}, ..$, а строка первых разностей с $p_{r+1}-1$, поэтому максимум строки первых разностей nПСВ$_m$ - $dm \geq p_{r+1}-1$.
Покажем, что под dm все разности выше строки ИС положительны.
Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2},   p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$
Разность dm образуется, как результат пропуска простых чисел от 2 до $p_r$, а разности рядом являются разностями рядом стоящих вычетов. Самым критичным является случай когда разница между dm и остальными первыми разностями минимальна. Это достигается при r=1.
Действительно, в этом случае, все разности равны, так как $p_{r+1}-1=p_{2}-1=3-1=2$. Это соответствует ПСВ(2).
Проверим ПСВ(2):
1 3 5 7 9 11 ....
2 2 2 2 2 .....
все разности положительны.
Следовательно, для больших значений dm тем более все разности положительны.
nПСВ$_m$ является строго возрастающей последовательностью нечетных чисел с возможными пропусками. Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны. Поэтому для треугольника Гильбрайта T с основанием nПСВ$_m$ выполняются условия доказанной выше леммы и ее следствия.
На основания следствия 2 леммы для треугольника T выполняется неравенство: $I(T)<dm$, поэтому номер $p_k$ -$k<dm$ (1).
Выше я показывал, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется для всех значений m из QIES ...
Покажем, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется и для больших значений m.
Для больших значений $p_r, p_k$ на основании асимтотической формулы простых чисел [3] и неравенства (1) получаем:
$p_k <dm\ln dm$ (2).
Выполняя экстраполяцию значений QIES, получаем:
$dm<p^{4/3}_r$ (3).
Подставляя (3) в (2) получаем соотношение:
$p_k<4/3p^{4/3}_r \cdot \ln p_r<p^2_r$, которое справедливо для всех $p_r$. ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение30.10.2012, 17:34 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vicvolf в сообщении #637753 писал(а):
Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$
Так, ну раз уж это претензия на доказательство, то следует доказать, что если $dm=p_{r+1}-1$, то разность в $T$ появляется только между числами $1$ и $p_{r+1}$ (откуда мы знаем, что она только там появляется?)

-- Вт окт 30, 2012 14:38:03 --

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):
Покажем, что под dm все разности выше строки ИС положительны.
Желательно, если хотите слово "под" использовать двусмысленно (для элемента $a_{k,j}$ элементы $a_{k+i,j-i}$ называем лежащими под $a_{k,j}$ и элементы $a_{k+i,j}$ тоже называем лежащими под $a_{k,j}$, $i\geqslant 0$), то явно обращать на это внимание в тексте и разбирать оба случая.

-- Вт окт 30, 2012 14:41:00 --

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):
Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны.
Это неверно, берем $n\text{ПСВ}(6)$: $1;5;7;11;13;17;...$, 1-я строка разностей $4;2;4;2;4;2;...$ - каждая 2-я разность отрицательна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение31.10.2012, 08:49 


23/02/12
3335
vicvolf в сообщении #637753 писал(а):
Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$

Цитата:

Так, ну раз уж это претензия на доказательство, то следует доказать, что если $dm=p_{r+1}-1$, то разность в $T$ появляется только между числами $1$ и $p_{r+1}$ (откуда мы знаем, что она только там появляется?)

Все разности в ПСВ симметричны относительно m/2, поэтому всегда есть симметричная разность для $p_{r+1}-1$. Кроме того симметричны и равны все разности находящиеся рядом. Это относится и к $dm>p_{r+1}-1$, которые пояляются при m>210, и разностям, находящимся рядом. Все эти случаи аналогичны и рассматривать их отдельно не надо.

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):
Покажем, что под dm все разности выше строки ИС положительны.

Цитата:
Желательно, если хотите слово "под" использовать двусмысленно (для элемента $a_{k,j}$ элементы $a_{k+i,j-i}$ называем лежащими под $a_{k,j}$ и элементы $a_{k+i,j}$ тоже называем лежащими под $a_{k,j}$, $i\geqslant 0$), то явно обращать на это внимание в тексте и разбирать оба случая.

Слово "под" заменю не двухсмысленным "ниже". Насчет двух случаев подумаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение31.10.2012, 13:58 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vicvolf в сообщении #638107 писал(а):
Все разности в ПСВ симметричны относительно m/2, поэтому всегда есть симметричная разность для $p_{r+1}-1$. Кроме того симметричны и равны все разности находящиеся рядом. Это относится и к $dm>p_{r+1}-1$, которые пояляются при m>210, и разностям, находящимся рядом. Все эти случаи аналогичны и рассматривать их отдельно не надо.
Не, я не про это. С чего Вы взяли, что разность $dm=p_{r+1}-1$ на отрезке $[0;M/2]$ единственна? Может их там две или три чисто случайно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение31.10.2012, 18:18 


23/02/12
3335
Такая разность на этом интервале одна. О контрпримере в предыдушем сообщении. Когда я пишу под dm, то имею в виду, что положительные разности находятся в колонке именно под dm с номером n-1 и строки со 2 до k-1 включительно. В контримере dm=4 и под ним находится 2 в строке ИС, т.е отрицательные разности находятся не под dm, а в строке с dm.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение31.10.2012, 19:43 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vicvolf в сообщении #638347 писал(а):
Такая разность на этом интервале одна.
С чего Вы взяли? Где доказательство?

vicvolf в сообщении #638347 писал(а):
В контримере dm=4 и под ним находится 2 в строке ИС, т.е отрицательные разности находятся не под dm, а в строке с dm.
Тогда возьмите $\text{ПСВ}_{210}$. Там отрицательная разность имеется в нижней вершине подтреугольника $T(29;31;37;41)$, т.е. ее номер равен $3$, в то время как $I(\text{ПСВ}_{210})=8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение01.11.2012, 09:45 


23/02/12
3335
Sonic86 в сообщении #638410 писал(а):
Тогда возьмите $\text{ПСВ}_{210}$. Там отрицательная разность имеется в нижней вершине подтреугольника $T(29;31;37;41)$, т.е. ее номер равен $3$, в то время как $I(\text{ПСВ}_{210})=8$.

Причем тут этот подтреугольник? Мы же говорим о максимальной разности для ПСВ(m) dm и о разностях под ней. Разности 2.6,4 под этими числами никакого отношения к максимальной разности не имеют. Если хотите говорить о максимальной разности для ПСВ(210), то возьмите разность dm=10 между числами 199, 209:
163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209
4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10
2 2 2 4 4 2 2 2 2 8
0 0 2 0 2 2 0 0 6
0 2 2 2 0 2 0 6
2 0 0 2 2 2 6
2 0 2 0 0 4
2 2 2 0 4
0 0 2 4
0 2 2
Все разности, которые находятся под dm выше строки ИС положительны. Они выделенны жирным шрифтом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение01.11.2012, 11:37 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vicvolf в сообщении #638624 писал(а):
Причем тут этот подтреугольник? Мы же говорим о максимальной разности для ПСВ(m) dm и о разностях под ней.
а почему Вы тогда пишите
vicvolf в сообщении #637753 писал(а):
Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны.
? Просьба лишить доказательство контекстной зависимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение01.11.2012, 13:25 


23/02/12
3335
Sonic86 в сообщении #638667 писал(а):
vicvolf в сообщении #638624 писал(а):
Причем тут этот подтреугольник? Мы же говорим о максимальной разности для ПСВ(m) dm и о разностях под ней.
а почему Вы тогда пишите
vicvolf в сообщении #637753 писал(а):
Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны.
? Просьба лишить доказательство контекстной зависимости.

Понял. Уточняю формулировку леммы.
Лемма. Рассмотрим 2 треугольника Гилбрайта $T_1, T_2$, пусть $T_1$ построен на строго возрастающей последовательности нечетных чисел с возможными пропусками $p_1,...,p_{n-1},p_n$, а $T_2$ построен на последовательности нечетных чисел $p_1,...,p_{n-1},p'_n$, где $p_n'=p_n+2$. Пусть $\max (p_j-p_{j-1})=p_n-p_{n-1}$, обозначим этот максимум $dm$. И пусть все разности, находящиеся под dm выше строки ИС ($a_{2,n-1},...a_{k-1,n-1}$) в $T_1$, положительны. Тогда $I(T_1)\leqslant I(T_2)$, где I(T) - номер строки ИС треугольника Гильбрайта Т.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение01.11.2012, 15:59 


23/02/12
3335
Доказательство
Пусть $I(T_1)=k.$ Увеличим $p_n$ на 2, т.е $p'_n=p_n+2$. Тогда все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p_{n-1}$ $(a_{1,n-2}, ....a_{n-1,n-2})$ останутся без изменения. По условию $dm= p_n-p_{n-1}$ разности $a_{1,n-1}-a_{1,n-2}\geq 0$, $a_{2,n-1}-a_{2,n-2}\geq 0$, ...$a_{k-1,n-1}-a_{k-1,n-2}\geq 0$. Поэтому элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p'_{n}$ $(a_{1,n-1}, ....a_{k-1,n-1})$ увеличатся на 2 и разность $|a_{i,n-1}-a_{i,n-2}|$ также увеличится на 2. Поэтому , если в k-ой элемент $a_{k,n-1}$ был равен 2 (больше он не может быть по определению строки индикатора сходимости), то он станет равным 4 и $I(T_2)$ станет больше k. Обратим внимание, что если элемент $a_{k,n-1}$ равен 0, тогда $I(T_2)=k$.
Если элемент $a_{k,n-1}$ не равен 0, то:
если в k+1 строке элемент под $p_{n-2}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=2$, то $I(T_2)=k+1$.
если в k+1 строке элемент под $p_{n-2}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=0$, то $I(T_2)=k+2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение02.11.2012, 10:22 


23/02/12
3335
vicvolf в сообщении #637753 писал(а):
Лемма 2
Пусть в основании треугольника Гильбрайта T находится последовательность вычетов nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$, тогда для вычета $p_k$, с которого начинается строка ИС в nПСВ$_m$, выполняется: $p_k<p^2_r.$

Уточню формулировку леммы 2.
Пусть в основании треугольника Гильбрайта T находится последовательность вычетов nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$, тогда:
1. $I(T)<dm$, где $I(T)$- номер строки ИС треугольника Гильбрайта Т.
2. Для вычета $p_k$, с которого начинается строка ИС в nПСВ$_m$, выполняется: $p_k<p^2_r.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение02.11.2012, 15:23 


23/02/12
3335
Следствие лемм
Если в основании треугольника Гильбрайта ($T_r$) находится последовательность, полученная после r-ого шага решета Эратосфена, то для числа $p_k$, с которого начинается строка ИС для T_r выполняется: $p_k<p^2_r$.
Доказательство
Сначала докажем, что $I(T_r) \leq I(T_p)$, где $T_p$ - треугольник Гильбрайта, в основании которого находится nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$.
Предположим, что $I(T_p)=k$. Добавим в основание треугольника простые числа: $2,3...p_r$ и удалим 1 - получим $T_r$. Покажем, что $I(T_r) \leq k$. Предположим противное, что $I(T_p)>k$. Сделаем обратное преобразование и перейдем к $T_p$. В этом случае на основании леммы для nПСВ$_m$ $I(T_p)$ не уменьшится и останется больше k, но это противоречит условию, что $I(T_p)=k$. Следовательно, предположение, что $I(T_p)>k$ не верно и $I(T_r) \leq I(T_p)$.
Если $I(T_r) \leq I(T_p)$, то на основании леммы 2 для числа $p_k$, с которого начинается строка ИС для T_r, выполняется: $p_k<p^2_r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение02.11.2012, 18:27 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
Не, Вы что-то не то написали. У Вас в доказательстве леммы 2 либо ошибка, либо пропуск, либо неточность. Именно тут:
vicvolf в сообщении #637753 писал(а):
Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны.
Формально это неверно. Я просил это утверждение уточнить (например, лишить утверждение контекстной зависимости). Вы что-то написали о 1-й лемме, о ее док-ве и о формулировке леммы 2 - все, что угодно, но док-во леммы 2 не исправили.
:|

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение02.11.2012, 19:36 


23/02/12
3335
Спасибо! Исправление доказательства леммы 2.
Доказательство
На основании теоремы 4 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится nПСВ$_m$ имеет строку ИС. Последовательность nПСВ$_m$ начинается с вычетов $1, p_{r+1}, ..$, а строка первых разностей с $p_{r+1}-1$, поэтому максимум строки первых разностей nПСВ$_m$ - $dm \geq p_{r+1}-1$.
Покажем, что под dm все разности выше строки ИС положительны.
Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2},   p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$
Разность dm образуется, как результат пропуска простых чисел от 2 до $p_r$, а разности рядом являются разностями рядом стоящих вычетов. Самым критичным является случай когда разница между dm и остальными первыми разностями минимальна. Это достигается при r=1.
Действительно, в этом случае, все разности равны, так как $p_{r+1}-1=p_{2}-1=3-1=2$. Это соответствует ПСВ(2).
Проверим ПСВ(2):
1 3 5 7 9 11 ....
2 2 2 2 2 .....
все разности положительны.
Следовательно, для больших значений dm тем более все разности выше строки ИС, находящиеся под dm, положительны.
nПСВ$_m$ является строго возрастающей последовательностью нечетных чисел с возможными пропусками. Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС под dm, положительны. Поэтому для треугольника Гильбрайта T с основанием nПСВ$_m$ выполняются условия доказанной выше леммы и ее следствия.
На основания следствия 2 леммы для треугольника T выполняется неравенство: $I(T)<dm$, поэтому номер $p_k$ -$k<dm$ (1).
Выше я показывал, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется для всех значений m из QIES ...
Покажем, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется и для больших значений m.
Для больших значений $p_r, p_k$ на основании асимтотической формулы простых чисел [3] и неравенства (1) получаем:
$p_k <dm\ln dm$ (2).
Выполняя экстраполяцию значений QIES, получаем:
$dm<p^{4/3}_r$ (3).
Подставляя (3) в (2) получаем соотношение:
$p_k<4/3p^{4/3}_r \cdot \ln p_r<p^2_r$, которое справедливо для всех $p_r$ ч.т.д.

Что скажете в отношении следствия лемм?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение03.11.2012, 08:19 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vicvolf в сообщении #639262 писал(а):
Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$
и снова:
Sonic86 в сообщении #638230 писал(а):
С чего Вы взяли, что разность $dm=p_{r+1}-1$ на отрезке $[0;M/2]$ единственна? Может их там две или три чисто случайно?


vicvolf в сообщении #639262 писал(а):
nПСВ$_m$ является строго возрастающей последовательностью нечетных чисел с возможными пропусками. Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС под dm, положительны. Поэтому для треугольника Гильбрайта T с основанием nПСВ$_m$ выполняются условия доказанной выше леммы и ее следствия.
Нет, условия леммы выполняются лишь для подтреугольника $T$, построенного на последовательности $a_1,...,a_k$, где $a_2-a_1=dm$, $k=I(T)$.

vicvolf в сообщении #639262 писал(а):
На основания следствия 2 леммы для треугольника T выполняется неравенство: $I(T)<dm$
А это с чего? У Вас следствие леммы 1 имеет вид $I(T_1)\leqslant I(T_2)$, а не $I(T)<C$. Тоже надо доказывать.

vicvolf в сообщении #639262 писал(а):
Что скажете в отношении следствия лемм?
Пока ничего, у нас даже лемма 2 еще не доказана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 384 ]  На страницу Пред.  1 ... 22, 23, 24, 25, 26  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group