Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

Лемма 2
Пусть в основании треугольника Гильбрайта T находится последовательность вычетов nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$, тогда для вычета $p_k$, с которого начинается строка ИС в nПСВ$_m$, выполняется: $p_k<p^2_r.$

Доказательство
На основании теоремы 4 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится nПСВ$_m$ имеет строку ИС. Последовательность nПСВ$_m$ начинается с вычетов $1, p_{r+1}, ..$, а строка первых разностей с $p_{r+1}-1$, поэтому максимум строки первых разностей nПСВ$_m$ - $dm \geq p_{r+1}-1$.
Покажем, что под dm все разности выше строки ИС положительны.
Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$
Разность dm образуется, как результат пропуска простых чисел от 2 до $p_r$, а разности рядом являются разностями рядом стоящих вычетов. Самым критичным является случай когда разница между dm и остальными первыми разностями минимальна. Это достигается при r=1.
Действительно, в этом случае, все разности равны, так как $p_{r+1}-1=p_{2}-1=3-1=2$. Это соответствует ПСВ(2).
Проверим ПСВ(2):
1 3 5 7 9 11 ....
2 2 2 2 2 .....
все разности положительны.
Следовательно, для больших значений dm тем более все разности положительны.
nПСВ$_m$ является строго возрастающей последовательностью нечетных чисел с возможными пропусками. Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны. Поэтому для треугольника Гильбрайта T с основанием nПСВ$_m$ выполняются условия доказанной выше леммы и ее следствия.
На основания следствия 2 леммы для треугольника T выполняется неравенство: $I(T)<dm$, поэтому номер $p_k$ -$k<dm$ (1).
Выше я показывал, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется для всех значений m из QIES ...
Покажем, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется и для больших значений m.
Для больших значений $p_r, p_k$ на основании асимтотической формулы простых чисел [3] и неравенства (1) получаем:
$p_k <dm\ln dm$ (2).
Выполняя экстраполяцию значений QIES, получаем:
$dm<p^{4/3}_r$ (3).
Подставляя (3) в (2) получаем соотношение:
$p_k<4/3p^{4/3}_r \cdot \ln p_r<p^2_r$, которое справедливо для всех $p_r$. ч.т.д.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):

Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$

Так, ну раз уж это претензия на доказательство, то следует доказать, что если $dm=p_{r+1}-1$, то разность в $T$ появляется только между числами $1$ и $p_{r+1}$ (откуда мы знаем, что она только там появляется?)

-- Вт окт 30, 2012 14:38:03 --

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):

Покажем, что под dm все разности выше строки ИС положительны.

Желательно, если хотите слово "под" использовать двусмысленно (для элемента $a_{k,j}$ элементы $a_{k+i,j-i}$ называем лежащими под $a_{k,j}$ и элементы $a_{k+i,j}$ тоже называем лежащими под $a_{k,j}$, $i\geqslant 0$), то явно обращать на это внимание в тексте и разбирать оба случая.

-- Вт окт 30, 2012 14:41:00 --

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):

Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны.

Это неверно, берем $n\text{ПСВ}(6)$: $1;5;7;11;13;17;...$, 1-я строка разностей $4;2;4;2;4;2;...$ - каждая 2-я разность отрицательна.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):

Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$

Цитата:

Так, ну раз уж это претензия на доказательство, то следует доказать, что если $dm=p_{r+1}-1$, то разность в $T$ появляется только между числами $1$ и $p_{r+1}$ (откуда мы знаем, что она только там появляется?)

Все разности в ПСВ симметричны относительно m/2, поэтому всегда есть симметричная разность для $p_{r+1}-1$. Кроме того симметричны и равны все разности находящиеся рядом. Это относится и к $dm>p_{r+1}-1$, которые пояляются при m>210, и разностям, находящимся рядом. Все эти случаи аналогичны и рассматривать их отдельно не надо.

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):

Покажем, что под dm все разности выше строки ИС положительны.

Цитата:

Желательно, если хотите слово "под" использовать двусмысленно (для элемента $a_{k,j}$ элементы $a_{k+i,j-i}$ называем лежащими под $a_{k,j}$ и элементы $a_{k+i,j}$ тоже называем лежащими под $a_{k,j}$, $i\geqslant 0$), то явно обращать на это внимание в тексте и разбирать оба случая.

Слово "под" заменю не двухсмысленным "ниже". Насчет двух случаев подумаю.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #638107 писал(а):

Все разности в ПСВ симметричны относительно m/2, поэтому всегда есть симметричная разность для $p_{r+1}-1$. Кроме того симметричны и равны все разности находящиеся рядом. Это относится и к $dm>p_{r+1}-1$, которые пояляются при m>210, и разностям, находящимся рядом. Все эти случаи аналогичны и рассматривать их отдельно не надо.

Не, я не про это. С чего Вы взяли, что разность $dm=p_{r+1}-1$ на отрезке $[0;M/2]$ единственна? Может их там две или три чисто случайно?

[vicvolf]

Такая разность на этом интервале одна. О контрпримере в предыдушем сообщении. Когда я пишу под dm, то имею в виду, что положительные разности находятся в колонке именно под dm с номером n-1 и строки со 2 до k-1 включительно. В контримере dm=4 и под ним находится 2 в строке ИС, т.е отрицательные разности находятся не под dm, а в строке с dm.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #638347 писал(а):

Такая разность на этом интервале одна.

С чего Вы взяли? Где доказательство?

vicvolf в сообщении #638347 писал(а):

В контримере dm=4 и под ним находится 2 в строке ИС, т.е отрицательные разности находятся не под dm, а в строке с dm.

Тогда возьмите $\text{ПСВ}_{210}$. Там отрицательная разность имеется в нижней вершине подтреугольника $T(29;31;37;41)$, т.е. ее номер равен $3$, в то время как $I(\text{ПСВ}_{210})=8$.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #638410 писал(а):

Тогда возьмите $\text{ПСВ}_{210}$. Там отрицательная разность имеется в нижней вершине подтреугольника $T(29;31;37;41)$, т.е. ее номер равен $3$, в то время как $I(\text{ПСВ}_{210})=8$.

Причем тут этот подтреугольник? Мы же говорим о максимальной разности для ПСВ(m) dm и о разностях под ней. Разности 2.6,4 под этими числами никакого отношения к максимальной разности не имеют. Если хотите говорить о максимальной разности для ПСВ(210), то возьмите разность dm=10 между числами 199, 209:
163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209
4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 10
2 2 2 4 4 2 2 2 2 8
0 0 2 0 2 2 0 0 6
0 2 2 2 0 2 0 6
2 0 0 2 2 2 6
2 0 2 0 0 4
2 2 2 0 4
0 0 2 4
0 2 2
Все разности, которые находятся под dm выше строки ИС положительны. Они выделенны жирным шрифтом.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #638624 писал(а):

Причем тут этот подтреугольник? Мы же говорим о максимальной разности для ПСВ(m) dm и о разностях под ней.

а почему Вы тогда пишите

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):

Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны.

? Просьба лишить доказательство контекстной зависимости.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #638667 писал(а):

vicvolf в сообщении #638624 писал(а):

Причем тут этот подтреугольник? Мы же говорим о максимальной разности для ПСВ(m) dm и о разностях под ней.

а почему Вы тогда пишите

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):

Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны.

? Просьба лишить доказательство контекстной зависимости.

Понял. Уточняю формулировку леммы.
Лемма. Рассмотрим 2 треугольника Гилбрайта $T_1, T_2$, пусть $T_1$ построен на строго возрастающей последовательности нечетных чисел с возможными пропусками $p_1,...,p_{n-1},p_n$, а $T_2$ построен на последовательности нечетных чисел $p_1,...,p_{n-1},p'_n$, где $p_n'=p_n+2$. Пусть $\max (p_j-p_{j-1})=p_n-p_{n-1}$, обозначим этот максимум $dm$. И пусть все разности, находящиеся под dm выше строки ИС ($a_{2,n-1},...a_{k-1,n-1}$) в $T_1$, положительны. Тогда $I(T_1)\leqslant I(T_2)$, где I(T) - номер строки ИС треугольника Гильбрайта Т.

[vicvolf]

Доказательство
Пусть $I(T_1)=k.$ Увеличим $p_n$ на 2, т.е $p'_n=p_n+2$. Тогда все элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p_{n-1}$ $(a_{1,n-2}, ....a_{n-1,n-2})$ останутся без изменения. По условию $dm= p_n-p_{n-1}$ разности $a_{1,n-1}-a_{1,n-2}\geq 0$, $a_{2,n-1}-a_{2,n-2}\geq 0$, ...$a_{k-1,n-1}-a_{k-1,n-2}\geq 0$. Поэтому элементы треугольника Гильбрайта, находящиеся под $p'_{n}$ $(a_{1,n-1}, ....a_{k-1,n-1})$ увеличатся на 2 и разность $|a_{i,n-1}-a_{i,n-2}|$ также увеличится на 2. Поэтому , если в k-ой элемент $a_{k,n-1}$ был равен 2 (больше он не может быть по определению строки индикатора сходимости), то он станет равным 4 и $I(T_2)$ станет больше k. Обратим внимание, что если элемент $a_{k,n-1}$ равен 0, тогда $I(T_2)=k$.
Если элемент $a_{k,n-1}$ не равен 0, то:
если в k+1 строке элемент под $p_{n-2}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=2$, то $I(T_2)=k+1$.
если в k+1 строке элемент под $p_{n-2}$, который не менялся, $a_{k+1,n-1}=0$, то $I(T_2)=k+2$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):

Лемма 2
Пусть в основании треугольника Гильбрайта T находится последовательность вычетов nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$, тогда для вычета $p_k$, с которого начинается строка ИС в nПСВ$_m$, выполняется: $p_k<p^2_r.$

Уточню формулировку леммы 2.
Пусть в основании треугольника Гильбрайта T находится последовательность вычетов nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$, тогда:
1. $I(T)<dm$, где $I(T)$- номер строки ИС треугольника Гильбрайта Т.
2. Для вычета $p_k$, с которого начинается строка ИС в nПСВ$_m$, выполняется: $p_k<p^2_r.$

[vicvolf]

Следствие лемм
Если в основании треугольника Гильбрайта ($T_r$) находится последовательность, полученная после r-ого шага решета Эратосфена, то для числа $p_k$, с которого начинается строка ИС для T_r выполняется: $p_k<p^2_r$.
Доказательство
Сначала докажем, что $I(T_r) \leq I(T_p)$, где $T_p$ - треугольник Гильбрайта, в основании которого находится nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$.
Предположим, что $I(T_p)=k$. Добавим в основание треугольника простые числа: $2,3...p_r$ и удалим 1 - получим $T_r$. Покажем, что $I(T_r) \leq k$. Предположим противное, что $I(T_p)>k$. Сделаем обратное преобразование и перейдем к $T_p$. В этом случае на основании леммы для nПСВ$_m$ $I(T_p)$ не уменьшится и останется больше k, но это противоречит условию, что $I(T_p)=k$. Следовательно, предположение, что $I(T_p)>k$ не верно и $I(T_r) \leq I(T_p)$.
Если $I(T_r) \leq I(T_p)$, то на основании леммы 2 для числа $p_k$, с которого начинается строка ИС для T_r, выполняется: $p_k<p^2_r$.

[Sonic86]

Не, Вы что-то не то написали. У Вас в доказательстве леммы 2 либо ошибка, либо пропуск, либо неточность. Именно тут:

vicvolf в сообщении #637753 писал(а):

Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС, положительны.

Формально это неверно. Я просил это утверждение уточнить (например, лишить утверждение контекстной зависимости). Вы что-то написали о 1-й лемме, о ее док-ве и о формулировке леммы 2 - все, что угодно, но док-во леммы 2 не исправили.

[vicvolf]

Спасибо! Исправление доказательства леммы 2.
Доказательство
На основании теоремы 4 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится nПСВ$_m$ имеет строку ИС. Последовательность nПСВ$_m$ начинается с вычетов $1, p_{r+1}, ..$, а строка первых разностей с $p_{r+1}-1$, поэтому максимум строки первых разностей nПСВ$_m$ - $dm \geq p_{r+1}-1$.
Покажем, что под dm все разности выше строки ИС положительны.
Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$
Разность dm образуется, как результат пропуска простых чисел от 2 до $p_r$, а разности рядом являются разностями рядом стоящих вычетов. Самым критичным является случай когда разница между dm и остальными первыми разностями минимальна. Это достигается при r=1.
Действительно, в этом случае, все разности равны, так как $p_{r+1}-1=p_{2}-1=3-1=2$. Это соответствует ПСВ(2).
Проверим ПСВ(2):
1 3 5 7 9 11 ....
2 2 2 2 2 .....
все разности положительны.
Следовательно, для больших значений dm тем более все разности выше строки ИС, находящиеся под dm, положительны.
nПСВ$_m$ является строго возрастающей последовательностью нечетных чисел с возможными пропусками. Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС под dm, положительны. Поэтому для треугольника Гильбрайта T с основанием nПСВ$_m$ выполняются условия доказанной выше леммы и ее следствия.
На основания следствия 2 леммы для треугольника T выполняется неравенство: $I(T)<dm$, поэтому номер $p_k$ -$k<dm$ (1).
Выше я показывал, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется для всех значений m из QIES ...
Покажем, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется и для больших значений m.
Для больших значений $p_r, p_k$ на основании асимтотической формулы простых чисел [3] и неравенства (1) получаем:
$p_k <dm\ln dm$ (2).
Выполняя экстраполяцию значений QIES, получаем:
$dm<p^{4/3}_r$ (3).
Подставляя (3) в (2) получаем соотношение:
$p_k<4/3p^{4/3}_r \cdot \ln p_r<p^2_r$, которое справедливо для всех $p_r$ ч.т.д.

Что скажете в отношении следствия лемм?

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #639262 писал(а):

Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$

и снова:

Sonic86 в сообщении #638230 писал(а):

С чего Вы взяли, что разность $dm=p_{r+1}-1$ на отрезке $[0;M/2]$ единственна? Может их там две или три чисто случайно?

vicvolf в сообщении #639262 писал(а):

nПСВ$_m$ является строго возрастающей последовательностью нечетных чисел с возможными пропусками. Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС под dm, положительны. Поэтому для треугольника Гильбрайта T с основанием nПСВ$_m$ выполняются условия доказанной выше леммы и ее следствия.

Нет, условия леммы выполняются лишь для подтреугольника $T$, построенного на последовательности $a_1,...,a_k$, где $a_2-a_1=dm$, $k=I(T)$.

vicvolf в сообщении #639262 писал(а):

На основания следствия 2 леммы для треугольника T выполняется неравенство: $I(T)<dm$

А это с чего? У Вас следствие леммы 1 имеет вид $I(T_1)\leqslant I(T_2)$, а не $I(T)<C$. Тоже надо доказывать.

vicvolf в сообщении #639262 писал(а):

Что скажете в отношении следствия лемм?

Пока ничего, у нас даже лемма 2 еще не доказана.