СЛАУ решение в базисной форме

[Limit79]

Что значит представить решение СЛАУ в базисной форме?

В смысле как оно должно выглядеть?

Есть некоторая слау, я получил ее решение, где базисные переменные выражены через свободные, а как быть дальше?

-- 31.10.2012, 01:10 --

Я понимаю как "найти какое-либо базисное решение системы уравнений", или это одно и тоже с моим вопросом?

[ewert]

Limit79 в сообщении #638071 писал(а):

Я понимаю как "найти какое-либо базисное решение системы уравнений",

Напишите, как Вы это понимаете (а заодно и о каком типе СЛАУ идёт речь). Дело в том, что тут возможны двусмысленности в терминологии, словосочетание же "найти какое-либо базисное решение" чего бы то ни было -- бессмысленно безусловно.

[Limit79]

ewert

Методом Гаусса решить систему и представить ее решение в базисной форме:

$\left\{\begin{matrix} 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}-2x_{5}=1\\ x_{1}+2x_{3}+3x_{4}-2x_{5}=3\\ 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}-2x_{5}=1\\ x_{1}+2x_{3}+x_{4}-x_{5}=2 \end{matrix}\right.$

А во втором задании такая же размерность системы и задание, но она однородная.

-- 31.10.2012, 01:44 --

Хотя вру, я понимаю вот такую формулировку:
"Исследовать систему линейных уравнений. В случае неопределённости системы найти её базисное решение."

В этом случае выражаем свободные переменные через базисные, потом придаем свободным переменным нулевые значения, и вычисляем значения базисных переменных, это и будет базисное решение.

[Limit79]

Или формулировки:

Цитата:

"Исследовать систему линейных уравнений. В случае неопределённости системы найти её базисное решение."

и

Цитата:

Методом Гаусса решить систему и представить ее решение в базисной форме

Одинаковы? (касательно базисного решения).

[Limit79]

Решение получилось вот такое:

$\left\{\begin{matrix} x_{1}=1-2C\\ x_{2}=С-1\\ x_{3}=C\\ x_{4}=0\\ x_{5}=-1 \end{matrix}\right.$

Может таки кто-нибудь знает, как представить это решение в базисной форме?

Весь интернет перерыл, нигде не нашел такой формулировки.

[still alive]

Незачем вводить лишнюю постоянную.

У вас есть 4 уравнения, 5 неизвестных, значит как минимум одна из них будет произвольной, то есть решений у вас бесчисленное множество (действительно все переменные окажутся выраженными через несколько свободных). Множество этих решений образуют линейное пространство, можете это проверить (понятно как)? Далее вас просят найти базис в этом пространстве, просто воспользуйтесь определением базиса.

Можете посмотреть здесь:
http://kadm.math.usu.ru/files/ovslinalggu2004.pdf

Параграф 0.3, там то, что вы называете базисным решением называют частным. Более подробно с объяснением смысла всего этого смотреть в параграфе 3.5. Примеров разобрано много.

(Оффтоп)

Можно так не извращаться с вёрсткой систем, используйте тег cases: http://dxdy.ru/topic183.html

[Limit79]

still alive
Т.е. надо придать свободным переменным нулевые значения, и найти базисные, исходя из этого?

-- 01.11.2012, 22:59 --

Вот тут есть похожий пример: http://www.reshebnik.ru/solutions/10/3/

Там придают свободным переменным значения $1,0,0$, $0,1,0$ и $0,0,1$. А мне получается надо придать только значение $1$?

И базис будет: $X=\begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 1\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} ?

-- 01.11.2012, 23:10 --

Или все таки ответ будет вот такой:

$\begin{pmatrix} 1-2c\\ c-1\\ c\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2c\\ c\\ c\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

[still alive]

Да, обычно так и делают. Сам я систему не решал, но если вы всё сделали правильно то да, должен получиться вполне определённый вектор без всяких там $c$. Всегда помните, что размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных в системе, то есть сколько свободных неизвестных, столько базисных векторов должно получиться.

[Limit79]

still alive
Все равно не очень понял.

Мы же имеем бесконечно много решений, и надо представить эти решения в базисной форме, то есть, как я думаю, будет вот так:

$X= \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\\ 0\\ -1 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$

Где $C$ - произвольная константа, так как решений бесконечно много.

А если, обнулить $C$, или же придать $C=1$, то мы же получим частное решение?

-- 02.11.2012, 00:18 --

Цитата:

Множество этих решений образуют линейное пространство

А не множество ли линейных пространств?

Хоть может чушь сказал.

[still alive]

Нет. Решений бесконечно много, вы их представляете выражая $n$ переменных $x_1,...,x_n$ через $k$ свободных переменных. Никаких произвольных постоянных не может здесь возникать, если конечно они не заданы в условии задачи.

Множество решений образуют линейное пространство и вы ищете его базис, размерность пространства решений равна числу свободных переменных, в вашем случае она одна. Вы приравниваете свободную переменную к единице и получаете один базисный вектор. Через него можно представить любое решение вашей системы. Для примера возьмите и приравняйте свободную переменную двум, получите ещё один вектор который сможете линейно выразить через ваш базисный простым домножением на двойку.

Просто аккуратно разберитесь с определениями которые используете, например про базис линейного пространства и то какую информацию он даёт. Ну а алгоритм решения задачи вам уже известен, по той ссылке которую вы дали он неплохо изложен.

-- 02.11.2012, 01:22 --

Limit79 в сообщении #638939 писал(а):

still alive
А не множество ли линейных пространств?

Это делается так. Сомневаетесь — берёте определение линейного пространства, берёте объект который вас интересует и начинаете проверять удовлетворяет ли объект определению.

Если так хотите то множество решений слау это так и быть множество линейных пространств состоящих из одного линейного пространства которое образуют множество решений слау. Пардон за рекурсию.

[Limit79]

still alive
То есть можно придать константе $C$ любое ненулевое значение, и получившиеся два вектора и будут ответом?

[still alive]

Вы пишите:
$x_3=C$
Хотя могли бы этого не делать и сразу выражать все значения через $x_3$, если вам так нравится вводить новые переменные наверное можно и так, только не совсем логично называть это константой, потому что у вас здесь все величины переменные, даже свободные.

Два вектора у вас не будет, векторов у вас должно быть столько сколько свободных переменных в уравнении, здесь она одна, вектор будет один, выше вы написали сумму двух векторов это по-сути один вектор.

[gris]

Limit79, то, что Вы пишете, обычно называется фундаментальным решением. Базисным решением называется немного другое, я уж и боюсь приводить определение. Склоняюсь к тому, что Вы написали про приравнивание к нулю свободных переменных. А что такое "решение в базисной форме" надо извлечь из конспектов вашего курса.

[bot]

В некоторых источниках при изложении симплекс-метода используют занятое слово базисное для обозначения любого частного решения, вместо естественного стартового или начального. Смешно это видеть в методичках по линейной алгебре, когда целевая функция отсутствует и симплекс-методом даже не пахнет.

[TOTAL]

still alive в сообщении #638941 писал(а):

Множество решений образуют линейное пространство

Т.е. сумма двух решений исходного уравнения тоже является его решением?