2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение функции конечной гладкости и дельта-функции
Сообщение28.10.2012, 20:07 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Вопрос взялся из этой темы.
Из каких математических или может быть физических соображений для уравнения
$\Delta u + a\left( {\delta  \cdot u} \right) = f$
получается условие сшивки
$u'(x+\epsilon)-u'(x-\epsilon)+a u(x_0)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение функции конечной гладкости и дельта-функции
Сообщение28.10.2012, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
С обозначениями что-то не то; везде должно быть $x_0$.

Если по теме, то правая часть регулярна в точке $x_0$. Значит, и левая часть регулярна. Значит, слагаемое $a u(x_0)\delta(x-x_0)$ должно с чем-то сократиться. Значит, $u''(x_0)=-a u(x_0)\delta(x-x_0)+v(x)$, где $v$ регулярна в точке $x_0$. Значит, у $u'(x)$ есть разрыв в точке $x_0$ на соответствующую величину.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение функции конечной гладкости и дельта-функции
Сообщение29.10.2012, 12:12 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Спасибо. Идея понятна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение функции конечной гладкости и дельта-функции
Сообщение29.10.2012, 20:44 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Хорошо, а если мы рассматриваем функции двух переменных, например $u = u(x,y)$ и уравнение
$u_{xx} + u_{yy} + a (\delta (x - y) \cdot u) = f$.
Как в этом случае определить условие сшивки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение функции конечной гладкости и дельта-функции
Сообщение30.10.2012, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Перейдите к переменным $\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ и $\frac{x+y}{\sqrt{2}}$. Тогда будет точно такое же условие сшивки по одной из новых переменных (а по другой функция будет гладкой).

Вот если бы там была двумерная $\delta$-функция, то все сложнее; так с ходу я не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение функции конечной гладкости и дельта-функции
Сообщение30.10.2012, 19:41 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Спасибо. А если так?
$u_{xx} + u_{yy} + a (\delta \cdot u) = f,$
где $\delta$ - дельта-функция в окрестности нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение функции конечной гладкости и дельта-функции
Сообщение31.10.2012, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Кажется, что может быть только $a=0$ или $u(0)=0$. Потому что чтобы (обобщенный) оператор Лапласа давал $\delta$-функцию, у исходной функции должна быть особенность вида $\ln(x^2+y^2)$. А такая функция разрывна в нуле, и ее нельзя умножать на $\delta$-функцию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение функции конечной гладкости и дельта-функции
Сообщение31.10.2012, 18:20 
Аватара пользователя


12/03/11
693
Все логично. Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group